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involutions réelles continues ?

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pourexemple

involutions réelles continues ?
il y a trois années

Membre depuis : il y a six années
Messages: 3 893

Salut,

A-t-on $\{f\in C(\R)\mid f \circ f= \text{id et } f\neq \text{ id} \}=\{x \rightarrow a-x \mid a\in \R\}$ ?

Cordialement.

Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par AD.

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pourexemple

Re: Qui sont les involutions réels continues ?
il y a trois années

Membre depuis : il y a six années
Messages: 3 893

J'ai vu qu'au moins une partie de la réponse est sur le net, alors même question avec les trilutions $f \circ f \circ f =\text{id}$
Puis les n-lutions.

Pour aller plus loin : [www.les-mathematiques.net]

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.

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christophe c

Re: involutions réelles continues ?
il y a trois années

Membre depuis : il y a quatorze années
Messages: 45 349

Si $g$ est continue et bijective et $f$ involutive continue alors $gfg^{-1}gfg^{-1}=id$, donc $gfg^{-1}$ est une involution continue. Même principe pour "les n-lutions" comme tu les appelles. Donc réponse non à toutes tes questions.

Problème de précision: que signifie $C(\R)$? J'ai fait comme si ça voulait dire $C^0(\R,\R)$.

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pourexemple

Re: involutions réelles continues ?
il y a trois années

Membre depuis : il y a six années
Messages: 3 893

@CC : bravo.

Oui, tu as supposé la bonne chose mais de toutes les façons cela reste vrai même si on suppose que $$C(\R)\in \{C^p(\R,\R)|p \in \N \cup \{\infty\} \}$$

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christophe c

Re: involutions réelles continues ?
il y a trois années

Membre depuis : il y a quatorze années
Messages: 45 349

Merci pour ton bravo, mais je n'ai rien résolu, j'ai juste dit que les $x\mapsto a-x$ ne sont pas les seules, ce qui, sans vouloir apparaître "jouant le modeste" aux néophytes, ne mérite pas forcément un "bravo" (euphémisme) winking smiley

En fait, la raison de mon post est que je craignais que tu aies oublié de taper une condition ou que $C(\R)$ ait une signification que j'allais apprendre avec surprise... Apparemment non, tant mieux alors.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi

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gebrane

Re: involutions réelles continues ?
il y a trois années

Membre depuis : il y a cinq années
Messages: 12 194

Il me semble si $ f \circ f \circ f=id$ sur $\R$ alors $f=id$sur $\R$ ( on démontre que f est injective donc f est strictement monotone donc ...)

Signature:
"Ne vis pas pour que ta présence se remarque mais pour que ton absence se ressente."

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pourexemple

Re: involutions réelles continues ?
il y a trois années

Membre depuis : il y a six années
Messages: 3 893

@CC : Tu sais très bien qu'il existe des résultats très simple et qu'il est très difficile de mobiliser devant certains problèmes (c'est comme si on les oubliait), si tu ne le sais pas regarde ici : [www.les-mathematiques.net]

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.

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BobbyJoe

Re: involutions réelles continues ?
il y a trois années

Membre depuis : il y a quatre années
Messages: 1 114

La seule involution croissante et continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est l'identité cependant ^^
Et sinon, pour les involutions continues et décroissantes sont toutes conjuguées à $-Id$...

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pourexemple

Re: involutions réelles continues ?
il y a trois années

Membre depuis : il y a six années
Messages: 3 893

Citation
BobbyJoe
Et sinon, pour les involutions continues et décroissantes sont toutes conjuguées à $-Id$...

Cela va au-delà de mes compétences actuelles.

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christophe c

Re: involutions réelles continues ?
il y a trois années

Membre depuis : il y a quatorze années
Messages: 45 349

Cela signifie probablement, si on en croit Bob, qu'elles sont toutes de la forme $x\mapsto g(-h(x))$ avec $g,h$ continues et réciproques l'une de l'autre.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi

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pourexemple

Re: involutions réelles continues ?
il y a trois années

Membre depuis : il y a six années
Messages: 3 893

Oui, j'ai bien compris, j'exprimais juste que je ne saurais expliquer pourquoi.

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gebrane

Re: involutions réelles continues ?
il y a trois années

Membre depuis : il y a cinq années
Messages: 12 194

Si $f \circ f= \text{id }$ alors f est injective, en effet si $f(x)=f(y)$ alors $f \circ f (x)=f \circ f (y)$ d'ou $x=y$
donc f est strictement croissante ou strictement decroissante
- si f est strictement croissante
si f(x)<x (resp. f(x)>x) alors $x=f\circ f(x)<f(x)<x$ (resp. $x=f\circ f(x)>f(x)>x$) on tombe sur une contradiction donc $f(x)=x$ c'est a dire $f=id$
- si f est strictement décroissante
grinning smiley

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"Ne vis pas pour que ta présence se remarque mais pour que ton absence se ressente."

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christophe c

Re: involutions réelles continues ?
il y a trois années

Membre depuis : il y a quatorze années
Messages: 45 349

Citation

on tombe sur une contradiction

Anecdote (un peu HS et pour info à gebrane): tu peux écrire << $x\leq f(x)\to x=f(x)$ et $x\geq f(x)\to x=f(x)$ donc $x=f(x)$>>, ce qui t'évite un raisonnement par l'absurde apparent (mais tu exploites tout pareil $[x\leq f(x)$ ou $x\geq f(x)]$, qui est admis dans ce cas)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi

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gebrane

Re: involutions réelles continues ?
il y a trois années

Membre depuis : il y a cinq années
Messages: 12 194

oui tu as raison si $x\leq f(x)$ alors $ f(x)\leq f\circ f(x)=x$
Je suis bête,

Signature:
"Ne vis pas pour que ta présence se remarque mais pour que ton absence se ressente."

bete.jpg

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