involutions réelles continues ? — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

involutions réelles continues ?

pourexemplepourexemple
dans Analyse
Salut,

A-t-on $\{f\in C(\R)\mid f \circ f= \text{id et } f\neq \text{ id} \}=\{x \rightarrow a-x \mid a\in \R\}$ ?

Cordialement.

Réponses

  • pourexemplepourexemple
    J'ai vu qu'au moins une partie de la réponse est sur le net, alors même question avec les trilutions $f \circ f \circ f =\text{id}$
    Puis les n-lutions.

    Pour aller plus loin : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849,1350234#msg-1350234
  • christophe cchristophe c
    Si $g$ est continue et bijective et $f$ involutive continue alors $gfg^{-1}gfg^{-1}=id$, donc $gfg^{-1}$ est une involution continue. Même principe pour "les n-lutions" comme tu les appelles. Donc réponse non à toutes tes questions.

    Problème de précision: que signifie $C(\R)$? J'ai fait comme si ça voulait dire $C^0(\R,\R)$.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • pourexemplepourexemple
    @CC : bravo.

    Oui, tu as supposé la bonne chose mais de toutes les façons cela reste vrai même si on suppose que $$C(\R)\in \{C^p(\R,\R)|p \in \N \cup \{\infty\} \}$$
  • christophe cchristophe c
    Merci pour ton bravo, mais je n'ai rien résolu, j'ai juste dit que les $x\mapsto a-x$ ne sont pas les seules, ce qui, sans vouloir apparaître "jouant le modeste" aux néophytes, ne mérite pas forcément un "bravo" (euphémisme) ;-)

    En fait, la raison de mon post est que je craignais que tu aies oublié de taper une condition ou que $C(\R)$ ait une signification que j'allais apprendre avec surprise... Apparemment non, tant mieux alors.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • gebranegebrane
    Il me semble si $ f \circ f \circ f=id$ sur $\R$ alors $f=id$sur $\R$ ( on démontre que f est injective donc f est strictement monotone donc ...)
    Le 😄 Farceur


  • pourexemplepourexemple
    @CC : Tu sais très bien qu'il existe des résultats très simple et qu'il est très difficile de mobiliser devant certains problèmes (c'est comme si on les oubliait), si tu ne le sais pas regarde ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1198849
  • BobbyJoeBobbyJoe
    La seule involution croissante et continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est l'identité cependant ^^
    Et sinon, pour les involutions continues et décroissantes sont toutes conjuguées à $-Id$...
  • pourexemplepourexemple
    BobbyJoe a écrit:
    Et sinon, pour les involutions continues et décroissantes sont toutes conjuguées à $-Id$...

    Cela va au-delà de mes compétences actuelles.
  • christophe cchristophe c
    Cela signifie probablement, si on en croit Bob, qu'elles sont toutes de la forme $x\mapsto g(-h(x))$ avec $g,h$ continues et réciproques l'une de l'autre.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • pourexemplepourexemple
    Oui, j'ai bien compris, j'exprimais juste que je ne saurais expliquer pourquoi.
  • gebranegebrane
    Si $f \circ f= \text{id }$ alors f est injective, en effet si $f(x)=f(y)$ alors $f \circ f (x)=f \circ f (y)$ d'ou $x=y$
    donc f est strictement croissante ou strictement decroissante
    - si f est strictement croissante
    si f(x)<x (resp. f(x)>x) alors $x=f\circ f(x)<f(x)<x$ (resp. $x=f\circ f(x)>f(x)>x$) on tombe sur une contradiction donc $f(x)=x$ c'est a dire $f=id$
    - si f est strictement décroissante
    :-D
    Le 😄 Farceur


  • christophe cchristophe c
    on tombe sur une contradiction

    Anecdote (un peu HS et pour info à gebrane): tu peux écrire << $x\leq f(x)\to x=f(x)$ et $x\geq f(x)\to x=f(x)$ donc $x=f(x)$>>, ce qui t'évite un raisonnement par l'absurde apparent (mais tu exploites tout pareil $[x\leq f(x)$ ou $x\geq f(x)]$, qui est admis dans ce cas)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • gebranegebrane
    oui tu as raison si $x\leq f(x)$ alors $ f(x)\leq f\circ f(x)=x$
    Je suis bête,62646
    Le 😄 Farceur


Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!