Difféomorphisme préservant l'orientation
Bonjour,
J'ai un problème avec la définition suivante.
J'imagine que "préserve l'orientation sur les espaces tangents" signifie que le déterminant de la matrice correspondante à l'application linéaire $f_{\star_p}$ est positif ... (?)
Mon problème est que j'utilise d'habitude la définition d'orientation sur une variété différentielle via le déterminant du jacobien des changements de cartes (qu'on exige positif) et que je n'arrive pas à trouver une définition rigoureuse d'orientation d'une variété différentielle via les espaces tangents.
Quelqu'un pourrait me donner une définition d'orientation via les espaces tangents et le lien avec la définition par le déterminant du jacobien des applications de changement de cartes ?
Un grand merci d'avance,
Plotkine.
J'ai un problème avec la définition suivante.
Définition a écrit:Soient $M$ et $N$ deux variétés différentiables orientées.
Soit $f : M \rightarrow N$ un difféomorphisme.
On dit que $f$ préserve l'orientation si sa différentielle en tout point $p \in M$, $f_{\star_p}:T_pM \rightarrow T_{f(p)}N$, préserve l'orientation des espaces tangents.
J'imagine que "préserve l'orientation sur les espaces tangents" signifie que le déterminant de la matrice correspondante à l'application linéaire $f_{\star_p}$ est positif ... (?)
Mon problème est que j'utilise d'habitude la définition d'orientation sur une variété différentielle via le déterminant du jacobien des changements de cartes (qu'on exige positif) et que je n'arrive pas à trouver une définition rigoureuse d'orientation d'une variété différentielle via les espaces tangents.
Quelqu'un pourrait me donner une définition d'orientation via les espaces tangents et le lien avec la définition par le déterminant du jacobien des applications de changement de cartes ?
Un grand merci d'avance,
Plotkine.
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Réponses
- Si je comprends bien, déterminer une orientation de $\mathbb{R}^n$ est essentiel pour avoir un ordre dans lequel placer les colonnes du jacobien des changements de carte ?
- Du coup, pour orienter via les espaces tangents, cette orientation de $\mathbb{R}^n$ sera celle des espaces tangents identifiés à $\mathbb{R}^n$ ?
- Ma définition pour un difféo préservant l'orientation est-elle correcte ? (déterminant de la matrice correspondant à la différentielle positif).
Merci d'avance !2 et 3. Une orientation d'un espace vectoriel réel (par exemple l'espace tangent en un point), c'est le choix d'une des deux classes de bases de cet espace (deux bases étant dans la même classe si la matrice de changement de base a un déterminant positif) ; la classe choisie est celle des bases directes. Une orientation d'une variété est un choix continu d'orientation de ses espaces tangents (possible si la variété est orientable). Un difféomorphisme entre variétés orientées préserve l'orientation si la différentielle en chaque point envoie base directe sur base directe.
Merci d'avance.
Par exemple, au moyen de cartes. Si on a une carte centrée en un point $x$ de la variété, elle permet, étant donné une orientation de l'espace tangent en $x$, de dire comment étendre continûment ce choix d'orientation au voisinage de $x$.
Il suffit de correspondre les déterminants de passage dont au sujet duquel la fonction est continue.