Difféomorphisme préservant l'orientation

1. Un changement d'orientation de $\R^n$ ne va pas changer les signes des déterminants jacobiens des morphismes de transition : un tel morphisme conserve l'orientation (sur une composant connexe de l'intersection des cartes) ou la renverse.
2 et 3. Une orientation d'un espace vectoriel réel (par exemple l'espace tangent en un point), c'est le choix d'une des deux classes de bases de cet espace (deux bases étant dans la même classe si la matrice de changement de base a un déterminant positif) ; la classe choisie est celle des bases directes. Une orientation d'une variété est un choix continu d'orientation de ses espaces tangents (possible si la variété est orientable). Un difféomorphisme entre variétés orientées préserve l'orientation si la différentielle en chaque point envoie base directe sur base directe.

Le sens intuitif me semble assez clair. Après, il y a plusieurs façons de formaliser.
Par exemple, au moyen de cartes. Si on a une carte centrée en un point $x$ de la variété, elle permet, étant donné une orientation de l'espace tangent en $x$, de dire comment étendre continûment ce choix d'orientation au voisinage de $x$.

Comment justifier mathématiquement qu'une application difféomorphe préserve l'orientation !

Est ce que vous pouvez me donner un exemple d'application et merci d'avance Sinusix

Application : si tu fais un doigt d'honneur de ta main droite, alors dans une glace ça fait un doigt d'honneur de main gauche. Les deux mains ne sont pas difféomorphes, sinon il y eût déchirage.