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Équations différentielles et comportements

Envoyé par Bus 
Bus
Équations différentielles et comportements
il y a trois années
Bonjour,

J'ai une introduction concernant le comportement des équations différentielles de type x'(t) = Ax(t) en dimension 2, avec $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$. Si A est diagonalisable, on notera $V_1$ et $V_2$ des vecteurs propres formant une base de $\R^2$ et la solution est $X(t) = a V_1 e^{\lambda_1 t} + b V_2 e^{\lambda_2 t}$ ($\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont évidemment les valeurs propres !)

Le descriptif de la trajectoire est fait dans le cas où a et b sont tous deux non nuls.

Deux valeurs propres réelles, distinctes, non nulles
• $0 < \lambda_1 < \lambda_2$ : la solution tend vers l'origine en $-\infty$, et part en l'infini en $+\infty$
• $\lambda_1 < 0 < \lambda_2$ : la solution vient de l'infini dans la direction $V_1$ et repart à l'infini dans la direction $V_2$
• $\lambda_1 < \lambda_2 < 0$ : la solution vient de l'infini dans la direction $V_1$ et tend vers l'origine suivant la direction $V_2$

Deux valeurs propres complexes conjuguées s +/- iw
• $s < 0$ : spirale partant de l'infini en $-\infty$ et s'enroulant autour de l'origine quand t tend vers $+\infty$
• $s = 0$ : trajectoires périodiques ; ce sont des ellipses de centre O
• $s > 0$ : spirales s'enroulant autour de l'origine en $-\infty$ et explosant à l'infini quand t tend vers $+\infty$

J'aimerais associer ces petites descriptions aux dessins...
Pour les trajectoires D, E et F, je n'ai pas de problème.
Pour la A, elle concerne le cas $\lambda_1 < \lambda_2 < 0$ et la B concerne le cas $\lambda_1 < 0 < \lambda_2$.
Mais pour la C, censée coïncider avec le cas $0 < \lambda_1 < \lambda_2$, je ne vois pas comment on sait que la solution tend vers l'origine en $-\infty$, on a plutôt l'impression qu'elle part vers l'infini sur le dessin. Quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi ? Ou alors c'est une erreur ?
La question peut paraître enfantine mais comme c'est introductif, j'aimerais ne pas déjà bloquer lol !
Merci d'avance

Edit : mince, mon dessin était à l'envers, je redimensionne...
Edit2 : confusion entre les descriptions et les images, mais pas très grave, on comprend que V1=E1 et V2=E2!



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Bus.


Re: Équations différentielles et comportements
il y a trois années
avatar
Bonjour,

On a $\displaystyle X(t) = aV_1 e^{\lambda_1 t} + bV_2 e^{\lambda_2 t } $, $\displaystyle 0<\lambda_1<\lambda_2$ et donc, par simple calcul, $\displaystyle X(t) \to 0, (t \to -\infty)$ parce que $\displaystyle e^u \to 0, (u \to -\infty)$, non ?
Re: Équations différentielles et comportements
il y a trois années
Bah, pour le cas $0<\lambda_1<\lambda_2$, les trajectoires partent de $0$ pour $t=-\infty$ (en étant tangentes à $V_1$, sauf ...) et vont à l'infini pour $t=+\infty$ avec direction asymptotique $V_2$ (sauf ...).
C'est bien ce que montre la figure C, non ?
Bus
Re: Équations différentielles et comportements
il y a trois années
D'accord, c'est vu ! J'avais mal compris, merci !
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