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Dominé entièrement ?

Envoyé par pourexemple 
Dominé entièrement ?
l’an passé
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Salut,

Soit $f\in C^0(\R)$. Existe-t-il, $g$ DSE sur $\R$ tel que $|f|\leq g$ ?

Cordialement.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par pourexemple.
Re: Dominé Entièrement
l’an passé
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Euh à tout hasard le théorème de Weierstrass peut-il être utile ?
Ps: tu deviens quoi ?
Re: Dominé Entièrement
l’an passé
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max8128
Que dit le théorème de Weierstrass?

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Dominé Entièrement
l’an passé
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@Max : c'est possible, mais je ne vois pas comment ?

Il me semble que la réponse est non.

PS : je continue à construire des ponts.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par pourexemple.
Re: Dominé Entièrement
l’an passé
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@gebrane0 Il dit ceci
Re: Dominé Entièrement
l’an passé
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donc pourexemple a besoin plutôt du Théorème de Carleman pour conclure !
n'est ce pas Max?

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Dominé Entièrement
l’an passé
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Euh n'y aurait-il pas anguille sous roche ? Je repense par là au titre du fil...il doit y avoir beaucoup plus simple .
Re: Dominé Entièrement
l’an passé
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Citation
Max
il doit y avoir beaucoup plus simple

Possible.
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
La réponse positive est une conséquence du théorème d'approximation de Whitney, dont une version affaiblie est que toute fonction continue de $\R^n$ dans $\R$ est limite uniforme de fonctions analytiques réelles sur $\R^n$.
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
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Salut,

Citation
GaBuZoMeu
une version affaiblie est que toute fonction continue de $\R^n$ dans $\R$ est limite uniforme de fonctions analytiques réelles sur $\R^n$

Tu peux me donner la suite de fonctions analytiques ayant pour limite uniforme sur $\R$ $x\rightarrow \exp(-1/x^2)$

Merci.



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par pourexemple.
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
L'article de Whitney est ici, tu peux lire le lemme 6 de l'article.
Si tu penses avoir un contre-exemple, explicite-le.
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
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@pour exemple : ce n'est pas parce qu'un théorème dit que quelque chose existe que la chose en question est facile à expliciter. Dès fois c'est même pire que ça, comme avec les $\mathbf Q$-bases de $\mathbf R$. Mais tu dois déjà savoir cela, non ? Donc je ne suis pas sûr de savoir pourquoi tu poses cette question.

Pour ta suite de fonctions il suffit de prendre $\exp(-1/(x^2+1/n))$.

C'est marrant quand même ce théorème de Whitney. Je me pose une question : soit $f$ une fonction continue de $\mathbf R$ dans $\mathbf R$, est-ce qu'il existe une fonction entière $g(z)=\sum a_n z^n $ (de rayon de convergence $+\infty$) telle que $|f|\leq |g|$ sur $\mathbf R$ ?
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
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@Mojojojo : Merci pour l'exemple, je suspecte ces "résultats" (par exemple résultat de Whitney) de prouver des résultats censés être indécidable.

En fait ta question prends tout son sens (pour moi), quand on se rappelle que $\frac{1}{1+x^2}$ est analytique sur $\R$, mais pas sur $\C$.

édit: ton exemple n'est pas DSE sur $\R$, ce qui revient à demander un rayon de convergence infini (mais localement DSE).

Cordialement.



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par pourexemple.
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
$x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$ n'est pas analytique sur $\mathbb R$.
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
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Alors pourquoi, $\exp(\frac{-1}{1+x^2})$ serait analytique ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par pourexemple.
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
Je t'ai dit une bêtise, je confonds avec un autre phénomène. Elle est bien analytique sur $\mathbb R$ car elle définit une fonction holomorphe au voisinage de $\mathbb R$.
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
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Bon ok je vois déjà qu'il y a un premier problème de vocabulaire. DSE je suppose que ça veut dire "développable en série entière" (et d'ailleurs tu aurais du le préciser dans ton premier message, je n'avais jamais vu cette abréviation...). Pour moi c'est équivalent à analytique. Pour toi visiblement c'est équivalent à "se prolonge en une fonction entière". Ce qui est évidemment différent et a déjà entraîné des quiproquos.

Par exemple $\exp(-1/(x^2+1))$ est analytique sur $\mathbf R$, et donc pour moi développable en série entière.

Citation
pe
je suspecte ces "résultats" (par exemple résultat de Whitney) de prouver des résultats censés être indécidable.
heu... ?
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
Pour moi analytique veut dire "au voisinage de chaque point il existe une série entière de rayon de convergence non nul telle que la fonction soit donnée sur ce voisinage comme somme de cette série entière".
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
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$f$ est DSE sur $\R$ ssi $\forall x\in\R, f(x)=\sum \limits_{n\in\N} a_nx^n$, donc $$x\rightarrow \exp(\frac{-1}{1+x^2})$$ n'est pas DSE sur $\R$, sinon elle aurait un rayon de convergence infini (pour son développement analytique en 0)



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par pourexemple.
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
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EXERCICE, références
Bon bah je pense que tu aurais du préciser tout ça (ainsi que la signification de l'acronyme) en début de question... Parce que du coup la version du théorème de Whitney donnée par GBZM ne répond pas à la question.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par mojojojo.
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
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Mais, il me semblait que cela était connue.

Cordialement.
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
Si pourexemple veut une fonction entière, alors il peut faire appel au théorème d'approximation de Carleman déjà mentionné par Gebrane ci-dessus.
On a aussi des version du théorème d'approximation de Whitney avec des fonctions holomorphes sur $\C^n$ tout entier, par exemple ici.
Pea
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
Il me semble qu'on peut montrer le résultat plus fort suivant: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ une fonction localement bornée alors il existe une fonction entière $F$ sur $\mathbb{C}$ prenant des valeurs réelles sur $\mathbb{R}$ telle que $\lvert f(x)\rvert\leqslant F(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

Preuve: Il suffit de montrer que pour toute telle fonction $f$ il existe une fonction entière $F_+:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ à valeurs réelles sur $\mathbb{R}$ telle que $\lvert f(x)\rvert \leqslant F(x)$ pour tout $x\geqslant 0$. En effet, si cela était le cas en considérant la fonction $x\mapsto f(-x)$ on pourrait aussi majorer $f$ par une fonction entière $F_-$ sur $\mathbb{R}_-$ et alors $\lvert f(x)\rvert\leqslant F_+(x)^2+F_-(x)^2+1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Quitte à translater $f$ il suffit même de la majorer par une fonction entière sur $[1,+\infty[$. On cherche notre fonction $F$ de la forme

$\displaystyle F(x)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{i=k_n+1}^{k_{n+1}} \frac{x^i}{n^i}$

où $(k_n)_{n\geqslant 1}$ est une suite strictement croissante d'entiers naturels. Clairement on a

$\displaystyle F(x)\geqslant S_n(x):=\sum_{i=k_n+1}^{k_{n+1}} \frac{x^i}{n^i}$

et il suffit donc de s'assurer que $S_n(x)\geqslant M_n:=\sup_{x\in [n,n+1]} \lvert f(x)\rvert$ pour tout $x\in [n,n+1]$ et pour tout $n\geqslant 1$. On vérifie que cela est possible en construisant notre suite $(k_n)_{n\geqslant 1}$ par récurrence. On pose $k_1=0$. Supposons notre suite construite jusqu'au rang $n$. On doit choisir l'entier $k_{n+1}$ de sorte que $S_n(x)\geqslant M_n$ pour tout $x\in [n,n+1]$. Or, pour tout $x\in [n,n+1]$ on a

$\displaystyle S_n(x)\geqslant S_n(n)=\sum_{i=k_n+1}^{k_{n+1}} \frac{n^i}{n^i}=k_{n+1}-k_n$

Il suffit donc de prendre $k_{n+1}\geqslant M_n+k_n$.
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
Joli et direct.
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
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@Pea : Bravo.
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
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@Pea : peux-tu développer pourquoi cette fonction est entière ?
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
Moi, M'sieur, je sais ! Parce que le coefficient de $x^i$ est de la forme $a(i)^i$ avec $a(i)$ qui tend vers $0$ (en prenant son temps) quand $i$ tend vers l'infini.
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
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Ah oui, ok, merci !
Re: Dominé entièrement ?
l’an passé
avatar
Merci pour la précision GaBuZoMeu. Quand j'avais cherché "théorème de Carleman" je n'étais tombé que sur des histoires de classes quasi analytiques de fonctions...
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