Il me semble qu'on peut montrer le résultat plus fort suivant: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ une fonction localement bornée alors il existe une fonction entière $F$ sur $\mathbb{C}$ prenant des valeurs réelles sur $\mathbb{R}$ telle que $\lvert f(x)\rvert\leqslant F(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.
Preuve: Il suffit de montrer que pour toute telle fonction $f$ il existe une fonction entière $F_+:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ à valeurs réelles sur $\mathbb{R}$ telle que $\lvert f(x)\rvert \leqslant F(x)$ pour tout $x\geqslant 0$. En effet, si cela était le cas en considérant la fonction $x\mapsto f(-x)$ on pourrait aussi majorer $f$ par une fonction entière $F_-$ sur $\mathbb{R}_-$ et alors $\lvert f(x)\rvert\leqslant F_+(x)^2+F_-(x)^2+1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Quitte à translater $f$ il suffit même de la majorer par une fonction entière sur $[1,+\infty[$. On cherche notre fonction $F$ de la forme
$\displaystyle F(x)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{i=k_n+1}^{k_{n+1}} \frac{x^i}{n^i}$
où $(k_n)_{n\geqslant 1}$ est une suite strictement croissante d'entiers naturels. Clairement on a
$\displaystyle F(x)\geqslant S_n(x):=\sum_{i=k_n+1}^{k_{n+1}} \frac{x^i}{n^i}$
et il suffit donc de s'assurer que $S_n(x)\geqslant M_n:=\sup_{x\in [n,n+1]} \lvert f(x)\rvert$ pour tout $x\in [n,n+1]$ et pour tout $n\geqslant 1$. On vérifie que cela est possible en construisant notre suite $(k_n)_{n\geqslant 1}$ par récurrence. On pose $k_1=0$. Supposons notre suite construite jusqu'au rang $n$. On doit choisir l'entier $k_{n+1}$ de sorte que $S_n(x)\geqslant M_n$ pour tout $x\in [n,n+1]$. Or, pour tout $x\in [n,n+1]$ on a
$\displaystyle S_n(x)\geqslant S_n(n)=\sum_{i=k_n+1}^{k_{n+1}} \frac{n^i}{n^i}=k_{n+1}-k_n$
Il suffit donc de prendre $k_{n+1}\geqslant M_n+k_n$.
