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Bornes et suites

Envoyé par Moufle2mer 
Bornes et suites
il y a trois années
Bonjour à tous,

l'autre jour, un de mes élèves m'a posé une colle. Pour reformuler son propos, en gros il voulait savoir pourquoi on ne pouvait pas parler de "limite en un point" d'une suite (pourquoi ce n'est qu'en l'infini qu'une suite peut tendre vers plus ou moins l'infini). Et là j'ai bloqué, et je bloque toujours. Je me bats avec mes notions de lycée et de post bac pour trouver une explication, je n'y arrive que très vaguement.

Par exemple, dans la démonstration que toute suite de Cauchy est bornée. On considère un espace métrique $(E,d)$, on fixe $\epsilon = 1$ et il existe un $N$ tel que pour tout $n >N$, $d(u_n,u_N) < 1$. Ca ok, mais comment expliquer que pour tout $m < N$ la distance $d(u_m, u_N)$ est bornée/finie (j'ai très honnêtement honte de ne pas réussir à l'expliquer).

En vous remerciant d'avance pour vos réponses.
Re: Bornes et suites
il y a trois années
Un ensemble fini de réels est borné. Non ?
Re: Bornes et suites
il y a trois années
avatar
Comment prouves-tu que l'ensemble des entiers n'est pas finies ?
En d'autre termes, pourquoi n'y aurait-il pas un plus grand entier ?
Re: Bornes et suites
il y a trois années
Oui GaBuZoMeu. Mais est-ce que cela se démontre (je me dis que la démonstration m'aidera pour ensuite transposer l'explication à un lycéen qui ne connaît ni le terme fini, ni borné).
Re: Bornes et suites
il y a trois années
Bah oui ça se démontre. Soit $\{u_1, \dots, u_N\}$ un ensemble fini de réels. Alors l'un des $u_i$ est le maximum de ces réels, et de même il y a un minimum (tu peux le montrer par récurrence si tu veux vraiment être rigoureux). En particulier cet ensemble est borné.
Re: Bornes et suites
il y a trois années
@Moufledemer : tu plaisantes ? Un lycéen ne sait pas ce que veut dire "fini" ? Il ne comprend pas que quand on a un ensemble fini de nombres réels, on peut en prendre le maximum ? Ranger une suite finie de réels dans l'ordre croissant est une tâche insurmontable pour un lycéen ?


$\max(a,b) : = a \text{ si } a\geq b, b \text{ sinon.}$
Exercice : $a\leq \max(a,b)$ et $b\leq \max(a,b)$
$\max(d_0,\max(d_1,\max(d_2,\ldots,d_{N-1})\ldots))$ est supérieur ou égal à tous les $d_i$ pour $i<N$.
Re: Bornes et suites
il y a trois années
Pour répondre à ta question pourexemple : je raisonne par l'absurde, en supposant qu'il y a un plus grand entier noté $n$. Alors $n+1$ est aussi un entier, et il y a contradiction.

Merci infiniment, c'est clair. (je m'étais perdu dans l'axiome de l'infini et autres notions d'ensemble depuis 48h...un vrai ouf de soulagement que d'avoir une belle réponse).



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Moufle2mer.
Re: Bornes et suites
il y a trois années
avatar
Oui, mais cela veut simplement dire que le plus grand entier (s'il existe) vérifie $n+1=n$ et alors ?
Re: Bornes et suites
il y a trois années
Pour répondre aux autres questions :

Je suis persuadé qu'en disant à mes élèves : un ensemble de réels fini est borné, je les perds pour ne bonne partie, ce qui restent l'apprendront par coeur sans vraiment avoir compris.

Je ne les sous-estime point, vu que ce fut mon cas. J'essaye d'éviter ce genre d'approche dans ma pédagogie (vu le public que j'ai, cela me semble encore adapté...en prépa peut-être moins).

J'essaye de comprendre ce qui les (nous) bloque. Je pense qu'ici la notion de limite est très mal introduite au lycée. Et il faut se battre avec cette jambe en bois. (par exemple, en acceptant d'introduire la notion d'ouvert et de fermé, au moins sur R, de manière rigoureuse).
Re: Bornes et suites
il y a trois années
Et alors 1=0 ?
Re: Bornes et suites
il y a trois années
avatar
Pourquoi ?

$N$ étant le plus grand des entiers, il aurait sûrement des propriétés particulières.
Re: Bornes et suites
il y a trois années
Là je sèche...
Re: Bornes et suites
il y a trois années
T'inquiète pas Moufle2mer, pourexemple fait son cirque, ce n'est pas grave. winking smiley
Re: Bornes et suites
il y a trois années
avatar
Je t'avais pourtant avertis, et non je ne fais pas mon cirque, peux-tu répondre à cette question ?

Merci.
Re: Bornes et suites
il y a trois années
Je confirme qu'il ne faut pas faire attention à ce qu'écrit pourexemple, ne te laisse pas embrouiller winking smiley

Même si le plus grand des entiers pourrait avoir des propriétés particulières, il garde quand même les propriétés des entiers puisque c'est un entier. Et un entier $n$ ne peut pas vérifier $n=n+1$ (car sinon $0=1$), de même qu'il ne peut vérifier $n \geq n+1$ (car sinon $0 \geq 1$).



Edité 5 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par skyffer3.
Re: Bornes et suites
il y a trois années
Oui en général ignorer pourexemple est une bonne chose si on veut utiliser tranquillement le forum.

Sinon pour ton problème de bornitude, c'est très visuel. Si tu te représentes un nombre fini de point sur la droite réelle, il est clair que cet ensemble ne peut pas aller "jusqu'à l'infini". L'un des éléments de ton ensemble est le plus grand d'entre eux, et un autre est le plus petit, ce qui te donne le caractère borné de ton ensemble.
Re: Bornes et suites
il y a trois années
avatar
@Moufle : pour clarifier les choses, je pense que l'Arithmétique de Peano est contradictoire, et que GaBuZoMeu le sait et s'en sert, quant à nos amis ils sont à l'affût d'une erreur de cette dernière qui en dirait trop, pour en tirer eux aussi avantage, toutes en veillant [à ce] que le moins de monde possible soit au courant, afin de conserver cette axiomatique même s'il la saurait vérolée.

Cordialement.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par skyffer3.
Re: Bornes et suites
il y a trois années
Citation
moufledemer
Ca ok, mais comment expliquer que pour tout $m < N$ la distance $d(u_m, u_N)$ est bornée/finie (j'ai très honnêtement honte de ne pas réussir à l'expliquer)

Tout ira déjà mieux dans ta tête quand tu auras corrigé cette incroyable faute de la part d'un prof grinning smiley . C'est peut-être une coquille typographique, on en fait tous, mais autant s'en assurer en te la faisant remarquer. Je propose que les experts du forum ne t'aident pas pour la trouver (sous l'hypothèse que tu ne la trouves pas en moins de 0.15 seconde), car plus tu souffriras de mettre du temps à la trouver plus tes progrès seront scellés une fois que tu l'auras surmontée.

Quant au fait qu'un ensemble fini d'entiers est bornée cela résulte du fait que $A:=\{n\in \mathbb{N} \mid $ tout ensemble qui contient $n$ nombres est borné $ \}$ contient $0$ et vérifie $\forall n\in \N: [n\in A\to n+1\in A]$.

Si tu n'es pas habitué à enseigner en Terminale, tu peux aussi remarquer que si $w$ est une suite finie de nombres alors la suite

$u: n\mapsto [$ if l'ensemble des $w(i)$ tels que $i$ est un entier compris entre $0$ et $n$ et est dans l'ensemble de définition de $w$ est borné then $0$ else $1]$


est arithmétique de raison $0$
(La classe de première admet alors que $\forall n\in \mathbb{N}: u_n=u_0$)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Bornes et suites
il y a trois années
Bonjour,

Citation

il voulait savoir pourquoi on ne pouvait pas parler de "limite en un point" d'une suite

On peut, mais ce n'est pas très intéressant.

Signature: Leila Bekti
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