Bornes et suites
dans Analyse
Bonjour à tous,
l'autre jour, un de mes élèves m'a posé une colle. Pour reformuler son propos, en gros il voulait savoir pourquoi on ne pouvait pas parler de "limite en un point" d'une suite (pourquoi ce n'est qu'en l'infini qu'une suite peut tendre vers plus ou moins l'infini). Et là j'ai bloqué, et je bloque toujours. Je me bats avec mes notions de lycée et de post bac pour trouver une explication, je n'y arrive que très vaguement.
Par exemple, dans la démonstration que toute suite de Cauchy est bornée. On considère un espace métrique $(E,d)$, on fixe $\epsilon = 1$ et il existe un $N$ tel que pour tout $n >N$, $d(u_n,u_N) < 1$. Ca ok, mais comment expliquer que pour tout $m < N$ la distance $d(u_m, u_N)$ est bornée/finie (j'ai très honnêtement honte de ne pas réussir à l'expliquer).
En vous remerciant d'avance pour vos réponses.
l'autre jour, un de mes élèves m'a posé une colle. Pour reformuler son propos, en gros il voulait savoir pourquoi on ne pouvait pas parler de "limite en un point" d'une suite (pourquoi ce n'est qu'en l'infini qu'une suite peut tendre vers plus ou moins l'infini). Et là j'ai bloqué, et je bloque toujours. Je me bats avec mes notions de lycée et de post bac pour trouver une explication, je n'y arrive que très vaguement.
Par exemple, dans la démonstration que toute suite de Cauchy est bornée. On considère un espace métrique $(E,d)$, on fixe $\epsilon = 1$ et il existe un $N$ tel que pour tout $n >N$, $d(u_n,u_N) < 1$. Ca ok, mais comment expliquer que pour tout $m < N$ la distance $d(u_m, u_N)$ est bornée/finie (j'ai très honnêtement honte de ne pas réussir à l'expliquer).
En vous remerciant d'avance pour vos réponses.
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Réponses
En d'autre termes, pourquoi n'y aurait-il pas un plus grand entier ?
$\max(a,b) : = a \text{ si } a\geq b, b \text{ sinon.}$
Exercice : $a\leq \max(a,b)$ et $b\leq \max(a,b)$
$\max(d_0,\max(d_1,\max(d_2,\ldots,d_{N-1})\ldots))$ est supérieur ou égal à tous les $d_i$ pour $i<N$.
Merci infiniment, c'est clair. (je m'étais perdu dans l'axiome de l'infini et autres notions d'ensemble depuis 48h...un vrai ouf de soulagement que d'avoir une belle réponse).
Je suis persuadé qu'en disant à mes élèves : un ensemble de réels fini est borné, je les perds pour ne bonne partie, ce qui restent l'apprendront par coeur sans vraiment avoir compris.
Je ne les sous-estime point, vu que ce fut mon cas. J'essaye d'éviter ce genre d'approche dans ma pédagogie (vu le public que j'ai, cela me semble encore adapté...en prépa peut-être moins).
J'essaye de comprendre ce qui les (nous) bloque. Je pense qu'ici la notion de limite est très mal introduite au lycée. Et il faut se battre avec cette jambe en bois. (par exemple, en acceptant d'introduire la notion d'ouvert et de fermé, au moins sur R, de manière rigoureuse).
$N$ étant le plus grand des entiers, il aurait sûrement des propriétés particulières.
Merci.
Même si le plus grand des entiers pourrait avoir des propriétés particulières, il garde quand même les propriétés des entiers puisque c'est un entier. Et un entier $n$ ne peut pas vérifier $n=n+1$ (car sinon $0=1$), de même qu'il ne peut vérifier $n \geq n+1$ (car sinon $0 \geq 1$).
Sinon pour ton problème de bornitude, c'est très visuel. Si tu te représentes un nombre fini de point sur la droite réelle, il est clair que cet ensemble ne peut pas aller "jusqu'à l'infini". L'un des éléments de ton ensemble est le plus grand d'entre eux, et un autre est le plus petit, ce qui te donne le caractère borné de ton ensemble.
Cordialement.
Tout ira déjà mieux dans ta tête quand tu auras corrigé cette incroyable faute de la part d'un prof :-D . C'est peut-être une coquille typographique, on en fait tous, mais autant s'en assurer en te la faisant remarquer. Je propose que les experts du forum ne t'aident pas pour la trouver (sous l'hypothèse que tu ne la trouves pas en moins de 0.15 seconde), car plus tu souffriras de mettre du temps à la trouver plus tes progrès seront scellés une fois que tu l'auras surmontée.
Quant au fait qu'un ensemble fini d'entiers est bornée cela résulte du fait que $A:=\{n\in \mathbb{N} \mid $ tout ensemble qui contient $n$ nombres est borné $ \}$ contient $0$ et vérifie $\forall n\in \N: [n\in A\to n+1\in A]$.
[small]Si tu n'es pas habitué à enseigner en Terminale, tu peux aussi remarquer que si $w$ est une suite finie de nombres alors la suite
est arithmétique de raison $0$[/small] (La classe de première admet alors que $\forall n\in \mathbb{N}: u_n=u_0$)
On peut, mais ce n'est pas très intéressant.