Limite d'un paraboloïde plat
Bonjour
Simplement par curiosité j'ai essayé de calculer la surface d'un paraboloïde, j'en suis arrivé à la formule qui suit. $$S = \frac{\pi}{6h^{2}}\big((4h^{2}R^{2}+1)^{\frac{3}{2}}-1\big)
$$ Je me suis dit que pour vérifier si ma formule était correcte il me suffisait de mettre des valeurs numériques avec un "$h$" très petit pour avoir un paraboloïde quasiment plat, donc de surface pratiquement égale à $ S = \pi R^{2}$, et il semble que ce soit vrai.
Mais l'utilisation d'une limite quand $h$ tend vers 0 serait plus propre.
J'avoue que ça fait tellement de temps que je n'ai pas utilisé les limites que je ne sais plus le faire. Quelqu'un pourrait-il m'aider ? C'est surtout le fait d'avoir une exponentiation qui m'embête.
[Note que "paraboloïde" est du genre masculin. ;-) AD]
Simplement par curiosité j'ai essayé de calculer la surface d'un paraboloïde, j'en suis arrivé à la formule qui suit. $$S = \frac{\pi}{6h^{2}}\big((4h^{2}R^{2}+1)^{\frac{3}{2}}-1\big)
$$ Je me suis dit que pour vérifier si ma formule était correcte il me suffisait de mettre des valeurs numériques avec un "$h$" très petit pour avoir un paraboloïde quasiment plat, donc de surface pratiquement égale à $ S = \pi R^{2}$, et il semble que ce soit vrai.
Mais l'utilisation d'une limite quand $h$ tend vers 0 serait plus propre.
J'avoue que ça fait tellement de temps que je n'ai pas utilisé les limites que je ne sais plus le faire. Quelqu'un pourrait-il m'aider ? C'est surtout le fait d'avoir une exponentiation qui m'embête.
[Note que "paraboloïde" est du genre masculin. ;-) AD]
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Réponses
Pour $x$ réel et $\alpha >0$, on a $\displaystyle (1+x)^\alpha = 1+\alpha x + {\alpha (\alpha +1) \over 2} x^2 + o(x^2).$
Merci.
En fait non. J'ai un souci ...
Le terme en $\alpha x$ fait que je trouve bien une $const*h^{2}/h^{2}$ dont la limite est cette constante qui vaut $\pi R^{2}$ Ok.
Par contre le terme en $\frac {\alpha (\alpha +1)}{2}x^{2}$ donne ce genre de chose :
$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{\pi }{6h^{2}}.\frac{\frac{3}{2} (\frac{3}{2} +1)}{2}(4h^{2} R^{2} + 1)^{2} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\pi }{6h^{2}}.\frac{15}{4} (16h^{4} R^{4} + 8h^{2} R^{2} + 1)$
et sa limite n'est pas nulle.
Du coup je n'ai pas la solution.