Petit problème d'analyse complexe
Réponses
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La racine carrée n'est pas multiplicative (déjà qu'elle n'est pas bien définie sur $\mathbb R$ tout entier).
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Il faut appeler un chat par son nom, $\sqrt{-1}$ c'est quoi ?
Si c'est $i$ ( ancienne notation), tu refais tes calculs en connaissance de causeLe 😄 Farceur -
Peut-on vraiment parler d'analyse complexe ici d'ailleurs ?
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Si on définit $\sqrt{}$ en passant par une détermination du logarithme.
$\sqrt{z}:=\exp\left(\dfrac{1}{2}\ln z\right)$
mais dans ce cas, cette racine carrée ne prendra pas les valeurs attendues sur les réels strictement positifs. B-)-
PS:
Si on veut définir cette fonction sur les réels négatifs on ne va pas utiliser la détermination principale du logarithme. -
Si la question m'est adressée, ici l'analyse réel est insuffisant puisque racine de -1 n'as pas de sens.Le 😄 Farceur
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Si on prend comme coupure la demi-droite $\{y<0\}$
sauf erreur, on a:
$\ln(-1)=i\dfrac{3}{2}\pi$
$\ln(1)=i\dfrac{1}{2}\pi$
$\sqrt{-1}=\exp\left(i\dfrac{3}{4}\pi\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\sqrt{1}=\exp\left(i\dfrac{1}{4}\pi\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\sqrt{-1}\times \sqrt{-1}=-i$
$\sqrt{1}\times \sqrt{1}=i$ -
Je suis d'accord avec vous sur $\mathbb R$ $\sqrt{-1}$ n'a pas de sens donc forcément je suis dans $\mathbb C$. Et j'ai parlé d' analyse complexe car cet exercice m'a été donné dans la fiche de T.D. sur "Intégration complexe et théorie de Cauchy". Je n'ai sais pas qu'elle rapport il y a sur les deux mais c'est ainsi.
Maintenant qu'il faille dire qu'elle détermination utiliser et montrer où il y a l'erreur ça c'est mon problème merci. -
Il faut d'abord comprendre ce que signifie $R$ . Utiliser $\log$ pour définir $R$ ne fait que déplacer le problème. Alors, comment est défini $\log$ ? Et où ?
Une fois que $R$ est défini (comme une application holomorphe, de préférence !); comme Poirot l'a dit, pourquoi penser que $R(a)R(b)=R(ab)$ ? -
Comme l'a dit poirot le problème vient du fait que ma racine n'est en général pas multiplicative sur un domaine de $\mathbf C$. On peut quand même noter que si on définit la racine carrée à partir de la détermination principale du logarithme la racine carrée sera multiplicative à condition que les arguments des nombres complexes soient assez petits. Ici tu as en fait une preuve que toute racine vérifiant $\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{1}$ doit aussi vérifier $\sqrt 1 = -1$, et que donc ce n'est pas la racine carrée "usuelle" sur $\mathbf R_+$.fdp a écrit:mais dans ce cas, cette racine carrée ne prendra pas les valeurs attendues sur les réels strictement positifs. B-)-
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Mojojo:
La détermination principale du logarithme correspond à la coupure $\{x<0\}$, explique moi, dès lors, comment tu définis $\ln(-1)$ B-)-
Mais si tu prends la coupure que j'ai prise plus haut tu peux définir $\ln 1$ et $\ln( -1)$ mais ce n'est pas sans désagrément comme déjà indiqué :-D -
Poirot quant tu dis la racine carrée n'est pas multiplicative qu'entends tu par la??? Qu'on a pas le droit de faire. $\sqrt{-1} \sqrt{-1}$????
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On n'a jamais $\sqrt{a} \sqrt{b}=\sqrt{ab} $ pour tout nombre complexe $a$,$b$
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jamais FDP ? je rappelle d'un reel est un complexe:-DLe 😄 Farceur
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On ne va pas pouvoir généraliser à une partie de $\mathbb{C}$ contenant l'axe des abscisses tout entier, la fonction racine carrée.
YvesM:
Je ne vois pas mon erreur à priori. -
Gebrane0:
Tu ne sais pas ce que veut dire TOUT? B-)- -
Je dirais que jusqu'ici je suis toujours perdu. Je sais que le problème est le passage de $\sqrt{-1}\sqrt{-1} à \sqrt{(-1)(-1)}$
Mais comment le montrer. -
Bah tu l'as montré puisque tu aboutis à une absurdité dans ton premier message !
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fdp a écrit:Mais si tu prends la coupure que j'ai prise plus haut tu peux définir $\ln 1$ et $\ln(-1)$ mais ce n'est pas sans désagrément comme déjà indiqué
:-D
Bah non... On prend n'importe quelle détermination du logarithme qui correspond avec le logarithme naturel sur $\mathbf R_+$ et qui soit aussi définie sur $\mathbf R_-$ et on retrouve bien la racine usuelle sur $\mathbf R_+$. -
Ok FDP
Ta phrase ressemble à frotter son oreille gauche par la main droiteLe 😄 Farceur -
Non je n'ai pas fais j'ai demandé de trouver l'erreur et d'expliquer pourquoi c'est une erreur.
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Tu rigoles là ? La seule règle fautive que tu utilises dans ton premier message est celle dont on te parle depuis le début, c'est-à-dire la multiplicativité de la fonction racine. Et tu demandes en quoi c'est une erreur ? Ton premier message en est une démonstration.
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YvesM:
J'ai un doute sur mes souvenirs.
Dans la détermination du logarithme avec la coupure $\{y<0\}$
Dans mon souvenir $Ln(z)=\ln(z)+i\arg(z)$
arg(z) est l'angle entre la demi-droite "Oz" et la demi-droite $\{y<0\}$ en tournant dans le sens trigonométrique.
Je dois me tromper :-D -
Bonjour,
Tu n'as pas répondu à la question. Je te laisse trouver tout erreur ou pas. -
YvesM:
$exp(0)=1$ peu importe la coupure considérée.
$exp\left(i\dfrac{\pi}{4}\pi\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ indépendamment de toute coupure.
PS:
J'ai corrigé une grossière erreur. :-D -
Bonjour.
Raisonner juste avec des notations douteuses n'est pas à la portée de tout le monde. Il est donc raisonnable d'adopter des notations qui facilitent le raisonnement, plutôt que des notations qui embrouillent les choses.
Il y a [size=large]la[/size] racine carrée $x\mapsto \sqrt{x} $, définie sur les réels positifs, telle que la racine carrée d'un nombre soit [size=large]le[/size] nombre dont le carré redonne le nombre initial.
Et il y a la correspondance réciproque de la fonction carré dans le corps $\C$. On a: $sqrt(4)=\{+2,-2\}$, $sqrt(4i)=\{+2i,-2i\}$. Chacune de ces deux correspondances est évidemment multiplicative, tandis que la deuxième n'est évidemment pas une fonction.
Il est bien connu, depuis Euler, que la notation $\sqrt{-1}$ est débile: il y aura toujours quelqu'un pour comprendre de travers. La seule façon de se débarrasser de cette notation est de définir $\sqrt{-1}$ comme une procédure aléatoire qui donne $+i$ avec une probabilité $1/2$ et $-i$ avec une probabilité $1/2$. Et alors $\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}$ est une nouvelle procédure aléatoire, qui donne $+1$ avec une probabilité $1/2$ et $-1$ avec une probabilité $1/2$.
Anders gesagt: on fait un quart de tour. Puis on fait un quart de tour, le même ou bien l'autre. De combien a-t-on tourné ? Application à la géométrie: le bissecteur d'un angle de demi-droites est une droite, tandis que le bissecteur d'un angle de droites est un gudule (union de deux droites perpendiculaires).
Cordialement, Pierre. -
@ gebrane0. Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans la phrase:
"Il est bien connu, depuis Euler, que la notation $\sqrt{-1}$ est débile: il y aura toujours quelqu'un pour comprendre de travers" ?
Cordialement, Pierre. -
Moi j'aurais aimé cette réponse que j'espère être juste.
$\sqrt{-1}=${$i,-i$}, donc $\sqrt{-1} \sqrt{-1}$ a quatre valeurs. Tandis que $\sqrt{(-1)(-1)}$ en a deux. -
Poli,
si tu attendais ça, il fallait donner ta définition de $\sqrt{-1}$. Chacun a choisi sa propre définition (voire "pas de sens"), pourquoi nous avoir caché la signification que tu donnais à l'écriture $\sqrt{-1}$ ? D'ailleurs, gebrane0 te l'a demandé dès le début dans ce message.
D'ailleurs, tu n'as pas défini le produit $\{i,-i\}\{i,-i\}$. Tu dis que ça donne 4 valeurs, c'est une opinion, pas un fait prouvé.
Mais continue à faire et écrire n'importe quoi .... -
Je m'excuse mais je n'avais pas bien cerné leurs questions.
$z\mapsto \sqrt{z}$ est la fonction multiforme. Et moi comme je m'y connais pas trop j'ai mis la question comme elle m'a été donnée en TD. -
Sans aller jusqu'à chercher ces histoires de fonctions multiformes, la question telle qu'elle est posée appelle une seule réponse possible, que l'on a expliqué plusieurs fois dans le fil.
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Bonjour!
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