Petit problème d'analyse complexe

La racine carrée n'est pas multiplicative (déjà qu'elle n'est pas bien définie sur $\mathbb R$ tout entier).

Peut-on vraiment parler d'analyse complexe ici d'ailleurs ?

Si la question m'est adressée, ici l'analyse réel est insuffisant puisque racine de -1 n'as pas de sens.

Bonjour @Fin de partie,

Tu as fait une erreur : essaie encore.

Il faut d'abord comprendre ce que signifie $R$ . Utiliser $\log$ pour définir $R$ ne fait que déplacer le problème. Alors, comment est défini $\log$ ? Et où ?
Une fois que $R$ est défini (comme une application holomorphe, de préférence !); comme Poirot l'a dit, pourquoi penser que $R(a)R(b)=R(ab)$ ?

Mojojo:

La détermination principale du logarithme correspond à la coupure $\{x<0\}$, explique moi, dès lors, comment tu définis $\ln(-1)$ B-)-

Mais si tu prends la coupure que j'ai prise plus haut tu peux définir $\ln 1$ et $\ln( -1)$ mais ce n'est pas sans désagrément comme déjà indiqué :-D

On n'a jamais $\sqrt{a} \sqrt{b}=\sqrt{ab} $ pour tout nombre complexe $a$,$b$

On ne va pas pouvoir généraliser à une partie de $\mathbb{C}$ contenant l'axe des abscisses tout entier, la fonction racine carrée.

YvesM:
Je ne vois pas mon erreur à priori.

fdp a écrit:

Mais si tu prends la coupure que j'ai prise plus haut tu peux définir $\ln 1$ et $\ln(-1)$ mais ce n'est pas sans désagrément comme déjà indiqué
:-D

Bah non... On prend n'importe quelle détermination du logarithme qui correspond avec le logarithme naturel sur $\mathbf R_+$ et qui soit aussi définie sur $\mathbf R_-$ et on retrouve bien la racine usuelle sur $\mathbf R_+$.

Tu rigoles là ? La seule règle fautive que tu utilises dans ton premier message est celle dont on te parle depuis le début, c'est-à-dire la multiplicativité de la fonction racine. Et tu demandes en quoi c'est une erreur ? Ton premier message en est une démonstration.

Bonjour,

Tu n'as pas répondu à la question. Je te laisse trouver tout erreur ou pas.

Bonjour.

Raisonner juste avec des notations douteuses n'est pas à la portée de tout le monde. Il est donc raisonnable d'adopter des notations qui facilitent le raisonnement, plutôt que des notations qui embrouillent les choses.

Il y a [size=large]la[/size] racine carrée $x\mapsto \sqrt{x} $, définie sur les réels positifs, telle que la racine carrée d'un nombre soit [size=large]le[/size] nombre dont le carré redonne le nombre initial.

Et il y a la correspondance réciproque de la fonction carré dans le corps $\C$. On a: $sqrt(4)=\{+2,-2\}$, $sqrt(4i)=\{+2i,-2i\}$. Chacune de ces deux correspondances est évidemment multiplicative, tandis que la deuxième n'est évidemment pas une fonction.

Il est bien connu, depuis Euler, que la notation $\sqrt{-1}$ est débile: il y aura toujours quelqu'un pour comprendre de travers. La seule façon de se débarrasser de cette notation est de définir $\sqrt{-1}$ comme une procédure aléatoire qui donne $+i$ avec une probabilité $1/2$ et $-i$ avec une probabilité $1/2$. Et alors $\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}$ est une nouvelle procédure aléatoire, qui donne $+1$ avec une probabilité $1/2$ et $-1$ avec une probabilité $1/2$.

Anders gesagt: on fait un quart de tour. Puis on fait un quart de tour, le même ou bien l'autre. De combien a-t-on tourné ? Application à la géométrie: le bissecteur d'un angle de demi-droites est une droite, tandis que le bissecteur d'un angle de droites est un gudule (union de deux droites perpendiculaires).

Cordialement, Pierre.

@ gebrane0. Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans la phrase:

"Il est bien connu, depuis Euler, que la notation $\sqrt{-1}$ est débile: il y aura toujours quelqu'un pour comprendre de travers" ?

Cordialement, Pierre.

@poli12 : Tu as deux choses à faire ni plus ni moins :
1- Définir $\sqrt{z}$ pour tout $z$ dans $\mathbb C$
2- Établir la propriété $\sqrt{zz'}=\sqrt{z}\sqrt{z'}$ pour tout $z$ et $z'$ dans $\mathbb C$.

Ce jour là on peut continuer la discussion :-D.

Sans aller jusqu'à chercher ces histoires de fonctions multiformes, la question telle qu'elle est posée appelle une seule réponse possible, que l'on a expliqué plusieurs fois dans le fil.