Je suis d'accord avec vous sur $\mathbb R$ $\sqrt{-1}$ n'a pas de sens donc forcément je suis dans $\mathbb C$. Et j'ai parlé d' analyse complexe car cet exercice m'a été donné dans la fiche de T.D. sur "Intégration complexe et théorie de Cauchy". Je n'ai sais pas qu'elle rapport il y a sur les deux mais c'est ainsi.
Maintenant qu'il faille dire qu'elle détermination utiliser et montrer où il y a l'erreur ça c'est mon problème merci.
Il faut d'abord comprendre ce que signifie $R$ . Utiliser $\log$ pour définir $R$ ne fait que déplacer le problème. Alors, comment est défini $\log$ ? Et où ?
Une fois que $R$ est défini (comme une application holomorphe, de préférence !); comme Poirot l'a dit, pourquoi penser que $R(a)R(b)=R(ab)$ ?
Comme l'a dit poirot le problème vient du fait que ma racine n'est en général pas multiplicative sur un domaine de $\mathbf C$. On peut quand même noter que si on définit la racine carrée à partir de la détermination principale du logarithme la racine carrée sera multiplicative à condition que les arguments des nombres complexes soient assez petits. Ici tu as en fait une preuve que toute racine vérifiant $\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{1}$ doit aussi vérifier $\sqrt 1 = -1$, et que donc ce n'est pas la racine carrée "usuelle" sur $\mathbf R_+$.
Je dirais que jusqu'ici je suis toujours perdu. Je sais que le problème est le passage de $\sqrt{-1}\sqrt{-1} à \sqrt{(-1)(-1)}$
Mais comment le montrer.
Mais si tu prends la coupure que j'ai prise plus haut tu peux définir $\ln 1$ et $\ln(-1)$ mais ce n'est pas sans désagrément comme déjà indiqué
:-D
Bah non... On prend n'importe quelle détermination du logarithme qui correspond avec le logarithme naturel sur $\mathbf R_+$ et qui soit aussi définie sur $\mathbf R_-$ et on retrouve bien la racine usuelle sur $\mathbf R_+$.
Tu rigoles là ? La seule règle fautive que tu utilises dans ton premier message est celle dont on te parle depuis le début, c'est-à-dire la multiplicativité de la fonction racine. Et tu demandes en quoi c'est une erreur ? Ton premier message en est une démonstration.
Raisonner juste avec des notations douteuses n'est pas à la portée de tout le monde. Il est donc raisonnable d'adopter des notations qui facilitent le raisonnement, plutôt que des notations qui embrouillent les choses.
Il y a [size=large]la[/size] racine carrée $x\mapsto \sqrt{x} $, définie sur les réels positifs, telle que la racine carrée d'un nombre soit [size=large]le[/size] nombre dont le carré redonne le nombre initial.
Et il y a la correspondance réciproque de la fonction carré dans le corps $\C$. On a: $sqrt(4)=\{+2,-2\}$, $sqrt(4i)=\{+2i,-2i\}$. Chacune de ces deux correspondances est évidemment multiplicative, tandis que la deuxième n'est évidemment pas une fonction.
Il est bien connu, depuis Euler, que la notation $\sqrt{-1}$ est débile: il y aura toujours quelqu'un pour comprendre de travers. La seule façon de se débarrasser de cette notation est de définir $\sqrt{-1}$ comme une procédure aléatoire qui donne $+i$ avec une probabilité $1/2$ et $-i$ avec une probabilité $1/2$. Et alors $\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}$ est une nouvelle procédure aléatoire, qui donne $+1$ avec une probabilité $1/2$ et $-1$ avec une probabilité $1/2$.
Anders gesagt: on fait un quart de tour. Puis on fait un quart de tour, le même ou bien l'autre. De combien a-t-on tourné ? Application à la géométrie: le bissecteur d'un angle de demi-droites est une droite, tandis que le bissecteur d'un angle de droites est un gudule (union de deux droites perpendiculaires).
@pldx1
Ma question était d'ordre humoristique. Calculer la probabilité qu'un énoncé mathématique soit vrai. Exemple Calculer la probabilité qu'une conjecture soit fausse.
Moi j'aurais aimé cette réponse que j'espère être juste.
$\sqrt{-1}=${$i,-i$}, donc $\sqrt{-1} \sqrt{-1}$ a quatre valeurs. Tandis que $\sqrt{(-1)(-1)}$ en a deux.
si tu attendais ça, il fallait donner ta définition de $\sqrt{-1}$. Chacun a choisi sa propre définition (voire "pas de sens"), pourquoi nous avoir caché la signification que tu donnais à l'écriture $\sqrt{-1}$ ? D'ailleurs, gebrane0 te l'a demandé dès le début dans ce message.
D'ailleurs, tu n'as pas défini le produit $\{i,-i\}\{i,-i\}$. Tu dis que ça donne 4 valeurs, c'est une opinion, pas un fait prouvé.
Mais continue à faire et écrire n'importe quoi ....
@poli12 : Tu as deux choses à faire ni plus ni moins :
1- Définir $\sqrt{z}$ pour tout $z$ dans $\mathbb C$
2- Établir la propriété $\sqrt{zz'}=\sqrt{z}\sqrt{z'}$ pour tout $z$ et $z'$ dans $\mathbb C$.
Je m'excuse mais je n'avais pas bien cerné leurs questions.
$z\mapsto \sqrt{z}$ est la fonction multiforme. Et moi comme je m'y connais pas trop j'ai mis la question comme elle m'a été donnée en TD.
Sans aller jusqu'à chercher ces histoires de fonctions multiformes, la question telle qu'elle est posée appelle une seule réponse possible, que l'on a expliqué plusieurs fois dans le fil.
Réponses
Si c'est $i$ ( ancienne notation), tu refais tes calculs en connaissance de cause
$\sqrt{z}:=\exp\left(\dfrac{1}{2}\ln z\right)$
mais dans ce cas, cette racine carrée ne prendra pas les valeurs attendues sur les réels strictement positifs. B-)-
PS:
Si on veut définir cette fonction sur les réels négatifs on ne va pas utiliser la détermination principale du logarithme.
sauf erreur, on a:
$\ln(-1)=i\dfrac{3}{2}\pi$
$\ln(1)=i\dfrac{1}{2}\pi$
$\sqrt{-1}=\exp\left(i\dfrac{3}{4}\pi\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\sqrt{1}=\exp\left(i\dfrac{1}{4}\pi\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\sqrt{-1}\times \sqrt{-1}=-i$
$\sqrt{1}\times \sqrt{1}=i$
Tu as fait une erreur : essaie encore.
Maintenant qu'il faille dire qu'elle détermination utiliser et montrer où il y a l'erreur ça c'est mon problème merci.
Une fois que $R$ est défini (comme une application holomorphe, de préférence !); comme Poirot l'a dit, pourquoi penser que $R(a)R(b)=R(ab)$ ?
Bah si... avec la détermination principale du logarithme par exemple.
La détermination principale du logarithme correspond à la coupure $\{x<0\}$, explique moi, dès lors, comment tu définis $\ln(-1)$ B-)-
Mais si tu prends la coupure que j'ai prise plus haut tu peux définir $\ln 1$ et $\ln( -1)$ mais ce n'est pas sans désagrément comme déjà indiqué :-D
YvesM:
Je ne vois pas mon erreur à priori.
Tu ne sais pas ce que veut dire TOUT? B-)-
Mais comment le montrer.
Bah non... On prend n'importe quelle détermination du logarithme qui correspond avec le logarithme naturel sur $\mathbf R_+$ et qui soit aussi définie sur $\mathbf R_-$ et on retrouve bien la racine usuelle sur $\mathbf R_+$.
Ta phrase ressemble à frotter son oreille gauche par la main droite
Avec ta coupure que vaut $\exp(i \times 0) =\exp(0)$ ? Ou se trouve le point représentant cet affixe ? Alors que vaut $\exp( i \pi 3/4)$ ?
J'ai un doute sur mes souvenirs.
Dans la détermination du logarithme avec la coupure $\{y<0\}$
Dans mon souvenir $Ln(z)=\ln(z)+i\arg(z)$
arg(z) est l'angle entre la demi-droite "Oz" et la demi-droite $\{y<0\}$ en tournant dans le sens trigonométrique.
Je dois me tromper :-D
Tu n'as pas répondu à la question. Je te laisse trouver tout erreur ou pas.
$exp(0)=1$ peu importe la coupure considérée.
$exp\left(i\dfrac{\pi}{4}\pi\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ indépendamment de toute coupure.
PS:
J'ai corrigé une grossière erreur. :-D
Raisonner juste avec des notations douteuses n'est pas à la portée de tout le monde. Il est donc raisonnable d'adopter des notations qui facilitent le raisonnement, plutôt que des notations qui embrouillent les choses.
Il y a [size=large]la[/size] racine carrée $x\mapsto \sqrt{x} $, définie sur les réels positifs, telle que la racine carrée d'un nombre soit [size=large]le[/size] nombre dont le carré redonne le nombre initial.
Et il y a la correspondance réciproque de la fonction carré dans le corps $\C$. On a: $sqrt(4)=\{+2,-2\}$, $sqrt(4i)=\{+2i,-2i\}$. Chacune de ces deux correspondances est évidemment multiplicative, tandis que la deuxième n'est évidemment pas une fonction.
Il est bien connu, depuis Euler, que la notation $\sqrt{-1}$ est débile: il y aura toujours quelqu'un pour comprendre de travers. La seule façon de se débarrasser de cette notation est de définir $\sqrt{-1}$ comme une procédure aléatoire qui donne $+i$ avec une probabilité $1/2$ et $-i$ avec une probabilité $1/2$. Et alors $\sqrt{-1} \times \sqrt{-1}$ est une nouvelle procédure aléatoire, qui donne $+1$ avec une probabilité $1/2$ et $-1$ avec une probabilité $1/2$.
Anders gesagt: on fait un quart de tour. Puis on fait un quart de tour, le même ou bien l'autre. De combien a-t-on tourné ? Application à la géométrie: le bissecteur d'un angle de demi-droites est une droite, tandis que le bissecteur d'un angle de droites est un gudule (union de deux droites perpendiculaires).
Cordialement, Pierre.
Alors l’énoncé initial de poli est vrai avec quel probabilité, faux avec quel probabilité ?
Merci
"Il est bien connu, depuis Euler, que la notation $\sqrt{-1}$ est débile: il y aura toujours quelqu'un pour comprendre de travers" ?
Cordialement, Pierre.
Ma question était d'ordre humoristique. Calculer la probabilité qu'un énoncé mathématique soit vrai. Exemple Calculer la probabilité qu'une conjecture soit fausse.
$\sqrt{-1}=${$i,-i$}, donc $\sqrt{-1} \sqrt{-1}$ a quatre valeurs. Tandis que $\sqrt{(-1)(-1)}$ en a deux.
si tu attendais ça, il fallait donner ta définition de $\sqrt{-1}$. Chacun a choisi sa propre définition (voire "pas de sens"), pourquoi nous avoir caché la signification que tu donnais à l'écriture $\sqrt{-1}$ ? D'ailleurs, gebrane0 te l'a demandé dès le début dans ce message.
D'ailleurs, tu n'as pas défini le produit $\{i,-i\}\{i,-i\}$. Tu dis que ça donne 4 valeurs, c'est une opinion, pas un fait prouvé.
Mais continue à faire et écrire n'importe quoi ....
1- Définir $\sqrt{z}$ pour tout $z$ dans $\mathbb C$
2- Établir la propriété $\sqrt{zz'}=\sqrt{z}\sqrt{z'}$ pour tout $z$ et $z'$ dans $\mathbb C$.
Ce jour là on peut continuer la discussion :-D.
$z\mapsto \sqrt{z}$ est la fonction multiforme. Et moi comme je m'y connais pas trop j'ai mis la question comme elle m'a été donnée en TD.