Sur $n^{1/n}$

gebrane
gebrane
dans Analyse
Bonjour,

Quel est votre façon pour démontrer que $n^{\frac 1n}$ tend vers 1 [quand $n\to\infty$].
(On peut le faire par encadrement $1\leq n^{\frac 1n} \leq (1+\sqrt{\frac 2n}),\ \forall n>0$).

edit En évitant l’écriture exponentielle (besoin en lycée).
Le 😄 Farceur


Réponses

  • Krokop
    Krokop
    Bonjour,

    Avec le bînome de Newton ?
  • gebrane
    gebrane
    On utilise Binôme pour trouver l'encadrement, c'est une question qu'on m'a posée, je la trouve bizarre car la façon la plus directe est $n^{\frac 1n}=e^{\frac {\ln(n)}n}$
    Le 😄 Farceur


  • Krokop
    Krokop
    Oui, en plus au lycée ils connaissent la limite de $ln(n)/n,$ non ?
  • Siméon
    Siméon
    Pour tout $q >1$, on a $1 < n < q^n$ à partir d'un certain rang (les croissances comparées, c'est connu, non ?).
  • gebrane
    gebrane
    edit
    @Krokop
    Bah oui, c'est une limite de référence. Je t'avoue que les seules méthodes lycéennes que je connais pour calculer cette limite, soit l'exponentiel ou un encadrement

    @Simeon
    ah donc c 'est ça
    Le 😄 Farceur


  • Fin de partie
    Fin de partie
    $n^{\tfrac{1}{n}}=\text{e}^{\tfrac{\ln n}{n}}$
  • Poirot
    Poirot
    @FDP : tu n'as pas bien lu le premier message j'ai l'impression :-D

    La réponse de Siméon me semble la plus élémentaire. Maintenant il faut réussir à faire comprendre à des lycées que si pour tout $q > 1$, $1< n^{1/n} < q$ pour $n$ assez grand, alors la suite $(n^{1/n})_n$ converge vers $1$ :-D
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Poirot:
    Je n'ai pas vu l'"édit" ou il n'est apparu qu'après que j'ai posté mon message. Je voulais seulement complété le message de Krokop qui contient implicitement ce que j'ai écrit mais dire les choses complètement c'est toujours mieux à mon humble avis.
  • Said Fubini
    Said Fubini
    Pour compliquer : $\dfrac {\ln n }{n }$ par Cesàro !
  • gebrane
    gebrane
    @FDP
    Tu es grillé, tu ne lis pas les messages d'avant.
    @said
    Cesàro discret ou continu ?
    Une jolie preuve est donné par J-L http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,546811,546815#msg-546815
    @Poirot
    aide moi à expliquer l'indication de Simon
    Le 😄 Farceur


  • Said Fubini
    Said Fubini
    $$ \frac{\ln (n)}{n}= \sum _{k=2}^n \frac{\ln(\frac{k}{k-1}) }n.$$
  • Poirot
    Poirot
    @gebrane : à des lycéens ? Malheureusement ce n'est pas mon domaine de compétence.
  • gebrane
    gebrane
    dommage car j'aime tes explications
    Le 😄 Farceur


  • max8128
    max8128
    @Gebrane je pense que ton calvaire s'arrête ici
    Bonne journée !
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Pour compléter le propos cité de Jean Lismonde:

    $f(x)=\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$

    $f^\prime(x)=\dfrac{2-\ln x}{2x\sqrt{x}}$

    $f$ est donc décroissante sur $[0;+\infty[$

    et on a donc pour tout $x\geq 2$ , $\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\leq \dfrac{\ln 2}{\sqrt{2}}$

    C'est à dire pour tout $x\geq 2$, $\ln x\leq \dfrac{\ln 2}{\sqrt{2}}\sqrt{x}$

    la constante est plus petite que $1$ on obtient donc:

    pour tout $x\geq 2$, $\ln x\leq \sqrt{x}$
  • Poirot
    Poirot
    Je pense que tu as un problème avec ta dérivée Fin de Partie ;-)
  • Fin de partie
    Fin de partie
    J'avais oublié de recopier le 2 au dénominateur. J'ai corrigé assez vite mon erreur, mais pas assez vite semble-t-il. :-D

    PS:
    Il se peut aussi que mon esclave numérique, selon l'expression consacrée ici, m'enduise d'erreur. B-)-
  • gebrane
    gebrane
    @FDP
    Si on explique à un élève que
    pour tout $x\geq 2,\ \ln x\leq \sqrt{x}$
    Je crains qu'il va croire que l’inégalité est fausse pour $0<x<2$
    Le 😄 Farceur


  • Poirot
    Poirot
    Je ne comprends toujours pas comment tu obtiens que $f$ est décroissante sur $[0, +\infty[$ (sic!) vu que la dérivée est clairement positive sur $]0, \mathrm{e}^2]$.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Oui, il y a bien une autre erreur. Cela m'apprendra à faire les calculs à la machine et pas à la main :-D.

    C'est sur $[\text{e}^2,+\infty[$ que $f$ est décroissante.

    Dans moment de faiblesse j'ai cru que $2-ln(x)=0$ était équivalent à $x=2$ :-D


    PS:

    Ce qui fait qu'on aurait pour tout $x>e^2$, $\ln x\leq \dfrac{2}{\text{e}}\sqrt{x}$

    Ce qui entraîne que $x>e^2$, $\ln x\leq \sqrt{x}$ vu que $\dfrac{2}{\text{e}}<1$

    Merci pour votre vigilance.
  • gebrane
    gebrane
    Soit $f(x) = \sqrt x - \log x$
    $$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt x} - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt x - 2}{2x}.
    $$
    donc f est décroissante sur [0,4] et croissante sur $[4,+\infty[$, du fait que
    $f(4) = \sqrt 4 - \log4=2-2\log2=2\log(\mathrm e/2) > 0$.

    alors $f(x) > 0$ for all $x \gt0$
    Le 😄 Farceur


  • Poirot
    Poirot
    @gebrane : pour les explications à des lycéens tout ce que je peux essayer c'est leur faire comprendre que graphiquement, pour tout $\varepsilon > 0$, si on prend $n$ assez grand, la quantité $n^{1/n}$ sera coincée entre $1$ et $1+ \varepsilon$, ce qui veut exactement dire que la suite $(n^{1/n})_n$ converge vers $1$. C'est au moins aussi dur que d'expliquer la définition de limite d'une suite à un lycéen ;-)
  • Siméon
    Siméon
    Poirot a écrit:
    Maintenant il faut réussir à faire comprendre à des lycées que si pour tout $q > 1,\ 1< n^{1/n} < q$ pour $n$ assez grand, alors la suite $(n^{1/n})_n$ converge vers $1$ :-D

    Je trouve justement que ceci est très bien adapté à la définition officielle en terminale :

    Soit $\left] a ,b\right[$ un intervalle ouvert contenant $1$. Alors $b > 1$ donc, d'après ce qui précède, l'intervalle $\left]1,b\right[$ contient toutes les valeurs $n^{1/n}$ pour $n$ à partir d'un certain rang. Puisque $\left] 1,b\right[ \subset \left]a,b\right[$, il en va de même pour l'intervalle $\left]a,b\right[$.
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