Un problème de convergence de série
Bonjour,
J'ai un petit bloquage sur l'énoncé suivant :
Soit $(x_n)_n$ suite d'éléments de $]0,1[$ telle que $\sum n x_n$ converge. Montrer que $\sum x_n \ln x_n$ converge. Je tourne un peu en rond à chercher à mettre en place des inégalités de convexité... Auriez-vous une piste ? Merci !
J'ai un petit bloquage sur l'énoncé suivant :
Soit $(x_n)_n$ suite d'éléments de $]0,1[$ telle que $\sum n x_n$ converge. Montrer que $\sum x_n \ln x_n$ converge. Je tourne un peu en rond à chercher à mettre en place des inégalités de convexité... Auriez-vous une piste ? Merci !
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Réponses
Indication : $\displaystyle \ln x \leq x, x>0$ ; $\displaystyle x^2 \leq x, x \in ]0,1[$ ; $\displaystyle 1 = n \times {1 \over n}, n \in \N^*$ ; Test de Dirichlet.
Si $x_n \leq e^{-n}$, alors $|x_n \ln(x_n)| = o(e^{-n/2})$ car $\lim_{x\to 0^+} \sqrt{x}\ln(x) = 0$.
Mazette ! Au moins, c'est vrai.
Indication :
- Il existe une suite $u$ positive telle que $\displaystyle x_n = e^{-u_n}, n \in \N$ ;
- Il existe une suite $\varepsilon $ positive qui tend vers $0$ et telle que $\displaystyle n x_n = \varepsilon_n, \in \N$ ;
- $\displaystyle x_n \ln x_n = -\varepsilon_n {\ln n \over n} + {\varepsilon_n \ln \varepsilon_n\over n}$ ;
- $\displaystyle u \ln u \to 0, (u \to 0)$ ;
- série de Riemann ;
- série de Bertrand.
Et, ça ne marche pas !
Je demande une démonstration de l'alternative : soit $\displaystyle x_n > e^{-n}$ soit $\displaystyle x_n \leq e^{-n}$ (à partir d'un certain rang). Et puis quoi encore !!
Contrexemple :
$\displaystyle x_n =\frac12, n \leq 10$ et $\displaystyle x_n = e^{-n} (1+ {1 \over 2} \cos n), n \geq 10$ : on a bien $x$ suite numérique positive, strictement entre $0$ et $1$, avec la série $\displaystyle \sum_n n x_n$ convergente... pourtant on a pas l'alternative proposée.
Non ?
Pour tout $n \in \N,\ (x_n > e^{-n} \text{ ou } x_n \leq e^{-n})$. Il n'y a besoin de rien de plus. Je ne pensais pas avoir besoin de le préciser mais ce sera peut-être plus clair pour toi sous la forme suivante :
$$
\forall n \in \N,\quad |x_n \ln(x_n)| \leq nx_n + \sup_{0 < x < e^{-n}} |x \ln(x)|.
$$
C'est plus clair comme ça... même si je ne sais pas le rédiger proprement, au moins je vois l'idée.