série alternée coriace
Bonjour,
comme à mon habitude, quand un problème sur ilemaths m'intéresse mais résiste aux efforts de ses meilleurs membres, je viens en faire part ici : topic (mais je pourrai relayer un peu moins vite parfois histoire de laisser le temps de cogiter, je reconnais...)
Quelle est donc la nature de $\displaystyle \sum_n \dfrac{(-1)^n}{\ln(n)+\cos(n)}$ ? Les derniers posts montrent que c'est la même que celle de la série $\sum_n \dfrac{ \sin(2n+\frac12)}{(\ln(2n)+\cos(2n))(\ln(2n+1)+\cos(2n+1))}$ et après...
Bonne fin de week-end !
comme à mon habitude, quand un problème sur ilemaths m'intéresse mais résiste aux efforts de ses meilleurs membres, je viens en faire part ici : topic (mais je pourrai relayer un peu moins vite parfois histoire de laisser le temps de cogiter, je reconnais...)
Quelle est donc la nature de $\displaystyle \sum_n \dfrac{(-1)^n}{\ln(n)+\cos(n)}$ ? Les derniers posts montrent que c'est la même que celle de la série $\sum_n \dfrac{ \sin(2n+\frac12)}{(\ln(2n)+\cos(2n))(\ln(2n+1)+\cos(2n+1))}$ et après...
Bonne fin de week-end !
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Réponses
Le terme général $\displaystyle u_n = {(-1)^n \over \ln(n) + \cos(n)}, n \in \N$ existe pour tout $\displaystyle n \in \N$, est réel, tend vers $0$ en valeur absolue (quand $n$ tend vers $+\infty$), et est décroissant en valeur absolue (au moins à partir d'un certain rang) et est alterné (au moins à partir d'un certain rang pour que le logarithme domine le cosinus changeant de signes) : donc la série $\displaystyle \sum_{n \geq 0} u_n$ converge. C'est le théorème du cours : critère de convergence des séries alternées.
C'est faux : la fonction oscille...
ta série alternée converge vers une limite comprise entre 1 et 2
on prendra par commodité n = 3, 4, 5.....etc..(ce qui ne change pas la nature de la série)
tu procèdes par encadrement : -1 < cosn < 1 (strictement)
d'où l'encadrement du terme général $u_n$ pris en valeur absolue de la série :
$\frac{1}{ln(n) + 1} < |u_n| < \frac{1}{ln(n) - 1}$ donc $|u_n| \sim \frac{1}{ln(n)}$
or on sait que la série alternée de terme général $\frac{(-1)^n}{ln(n)}$ avec n = 2, 3........
converge vers une limite positive
la constante 1 ajoutée ou soustraite à ln(n) pour n > 2 strictement ne change rien à la nature de la série
et donc ta série doublement alternée converge
cordialement
> est décroissant en valeur absolue (au moins à partir d'un certain rang)
Mais un rang assez lointain quand même...
La suite $w_n=u_n-\frac {(-1)^n}{\ln(n)}$ ne permet pas de conclure?
edit Apres avoir avoir développé les calculs, ça ne marche pas
On considère une somme finie pour additionner deux termes consécutifs : $\displaystyle S_N = \sum_{n=1}^{N} u_n = \sum_{n=1}^{N/2} (u_{2n } + u_{2n-1 } )$ avec $\displaystyle u_n = {(-1)^n \over \ln(n) + \cos(n)}$ : on ne pinaille pas sur le $\displaystyle N/2$...
On a donc $\displaystyle S_N = \sum_{n=1}^{N/2} \Big( {1 \over \ln(2n) + \cos(2n) }- {1 \over \ln(2n-1) + \cos(2n-1)} \Big) =\sum_{n=1}^{N/2} {\ln(1-{1 \over 2n}) +\cos(2n-1)-\cos(2n) \over (\ln(2n) + \cos(2n) )(\ln(2n-1) + \cos(2n-1))} .$
Le terme $\displaystyle {\ln(1-{1 \over 2n}) \over (\ln(2n) + \cos(2n) )(\ln(2n-1) + \cos(2n-1))} $ se comporte comme $\displaystyle {1 \over n \ln^2 n}, (n \to +\infty)$ et converge d'après Bertrand.
Pour traiter le terme $\displaystyle \sum_{n=1}^{N/2} {\cos(2n-1)-\cos(2n) \over (\ln(2n) + \cos(2n) )(\ln(2n-1) + \cos(2n-1))} $ l'idée est de montrer qu'il vérifie ou pas le critère de Cauchy. Mais j'y travaille encore...
Pouvez-vous me dire si on peut conclure ?
On sait, par les test de Dirichlet, que la série de terme general ${\sin(n) \over \ln(n)} $ converge ; que dire de la série de terme general $O({\sin(n) \over \ln(n)}) $ ?
La série de terme général $\dfrac{(-1)^n}{n}$ converge par le même critère, pourtant la série de terme générale $0$ pour $n$ impair et $\dfrac{(-1)^n}{n}$ pour $n$ pair est $O\left(\dfrac{(-1)^n}{n}\right)$ mais ne converge pas.
On ne peut rien dire ( sans convergence absolue)
$\sum \frac {(-1)^n}n$ converge mais on ne sait rien sur $O(\frac {(-1)^n}n)$
edit c'est un duplicata de ce qu' a dit skyfer :-P
Merci. Peut-on conclure ici ?
On sait que la série de terme general ${\sin^2(n) \over \ln(n)}$ diverge par linearisation du numérateur comme somme d'une série convergente par le test de Dirichlet et d'une autre série divergente par Bertrand.
Quid de $O({\sin^2(n) \over \ln(n)})$ ?
${\sin^2(n) \over \ln(n)} = O({\sin^2(n) \over \ln(n)})$ aboutit à une série divergente mais $0=O({\sin^2(n) \over \ln(n)})$ aboutit à une série convergente.
Peux-tu faire suivre la question sur math.stackexchange aussi?
Je crois que cette question va garder son secret jalousement et pour longtemps :-D
$$
a_N = \sum_{n = N^2+1}^{(N+1)^2} \frac{(-1)^n}{\log(n) + \cos(n)},\qquad N \geq 1,
$$
on s'attend à avoir $a_N$ d'un ordre de grandeur proche de $\dfrac{1}{\log(N)}$, qui tend vers $0$ pour $N \to \infty$.
On devrait même pouvoir trouver $(b_n)$ croissante de limite $+\infty$ et telle que les sommes partielles $N\mapsto \displaystyle \sum_{n=1}^N a_n\, b_n$ restent bornées, ce qui entrainerait la converge de la série de terme général $a_n$, et on devrait pouvoir en déduire le résultat voulu.
Il reste à voir si ce programme est tractable techniquement...
En guise d'échauffement, je propose de commencer par démontrer que pour tout réel $L$ assez grand,
$$
\sup_{x \geq 0}\; \left|\sum_{n \leq x} \frac{(-1)^n}{L + \cos(n)}\right| < \infty.
$$
$$\sup_{t\in\mathbb{R}}|f(t+T)-f(t)| \leq \varepsilon$$
Avec $f(x)=\frac{1}{ln(x+1)+cos(x+1)}$
La fonction serait alors presque périodique (au sens de Bohr)
Cordialement.
$\displaystyle \sum_{n=n_0}^\infty\frac{(-1)^n}{\ln n+\cos n}=
\sum_{n=n_0}^\infty \frac{(-1)^n}{\ln(n)} \frac{1}{1+\frac {\cos n}{\ln(n)}}=
\sum_{n=n_0}^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\ln(n)} \frac{{(-1)^k}\cos^k(n)}{\ln^k(n)}$
par magie $v_n$ est du signe constant et équivalente à $\frac 1{\ln^2(n)}$
J'attends avec impatience comment tu vas expliquer la preuve de MSE sur le Forum ilemaths
Tu as du boulot sur la planche :-D
@Satan : Test de Dirichlet
Ta série converge pour (presque) tous les réels $x$.
Tu ne lis pas les messages précédents ! :-D
Une fois sur la monotonie de ln+cos et une sur la nature de $\sum_{n\geq1} \dfrac{(-1)^n}{\ln(n)+ \cos (an)}$ qui diverge en $a=\pi$
> Oui, mais ça diverge autour de toute valeur de $a$
Peux-tu m'expliquer le sens de cette phrase ?
Je ne sais pas par ailleurs si l'on n'a pas un théorème d'analyse complexe qui dirait que si la série $S(z)$ de fonctions holomorphes converge sur $\C \setminus \R$ et si la série $S(z)$ converge en $x \in \R$, alors la série converge dans un voisinage de $x$?
D'abord merci à @Alexique pour cette série alternée coriace. Voici ma démonstration que cette série diverge.
Soit $n$ un entier non nul, soit la suite numérique $u$ définie par $\displaystyle u_n = {(-1)^n \over \ln(n) + \cos(n)}, n \geq 1$, soit la série $\displaystyle U = \sum_{n \geq 1} u_n.$ On cherche la nature de la série $U.$
Je rédige par proposition pour plus de rapidité.
Soit $\displaystyle x \in \{-1, 1\}$ et la suite $d(x)$ définie par, pour tout $\displaystyle n \geq 1$, $\displaystyle 2 d_n(x) = {1 \over \ln^2(2n)(\ln(2n) + x)} - {1 \over \ln^2(2n+1)(\ln(2n+1) -x)} + {\cos(4n) \over \ln^2(2n) (\ln(2n) + x)} - {\cos(4n+2) \over \ln^2(2n+1) (\ln(2n+1) - x)}.$
Proposition 0 : la suite $u$ est définie sur $\displaystyle n \geq 1$ et numérique.
Proposition 1 : la série $U$ est alternée.
Proposition 2 : $\displaystyle u_n \to 0, (n \to \infty).$
Proposition 3 : la série $U$ est de même nature que la série $v$ définie par $\displaystyle v_n = u_{2n} + u_{2n+1}, n \geq 1.$
Proposition 4 : $\displaystyle v_n - ({1 \over \ln(2n)} - {1 \over \ln(2n+1)}) + {\cos(2n) \over \ln^2(2n)} - {\cos(2n+1) \over \ln^2(2n+1)} = {\cos^2(2n) \over \ln^2(2n)(\ln(2n) + \cos(2n))} - {\cos^2(2n+1) \over \ln^2(2n+1)(\ln(2n+1) + \cos(2n+1))}.$
Proposition 5 :
$\displaystyle {\cos^2(2n) \over \ln^2(2n)(\ln(2n) +1)} - {\cos^2(2n+1) \over \ln^2(2n+1)(\ln(2n+1) -1)} \leq v_n - {\ln(1+{1 \over 2n}) \over \ln(2n)\ln(2n+1)} + {\cos(2n) \over \ln^2(2n)} - {\cos(2n+1) \over \ln^2(2n+1)} \leq \\ \displaystyle \leq {\cos^2(2n) \over \ln^2(2n)(\ln(2n) -1)} - {\cos^2(2n+1) \over \ln^2(2n+1)(\ln(2n+1) +1)}.$
Proposition 6 : $\displaystyle {\cos^2(2n) \over \ln^2(2n)(\ln(2n) +x)} - {\cos^2(2n+1) \over \ln^2(2n+1)(\ln(2n+1) -x)} = d_n(x).$
Proposition 7 : $\displaystyle d_n(+1) \leq v_n - {\ln(1+{1 \over 2n}) \over \ln(2n)\ln(2n+1)} + {\cos(2n) \over \ln^2(2n)} - {\cos(2n+1) \over \ln^2(2n+1)} \leq d_n(-1) .$
Proposition 8 : $\displaystyle {1 \over \ln^2(2n)(\ln(2n) + x)} - {1 \over \ln^2(2n+1)(\ln(2n+1) -x)} = {-2 x \over \ln^2(2n) (\ln^2(2n)-1)} + O({1 \over n \ln^4(n)}).$
Proposition 9 : $\displaystyle 0 \leq v_n - {\ln(1+{1 \over 2n} )\over \ln(2n)\ln(2n+1)} + {\cos(2n) \over \ln^2(2n)} - {\cos(2n+1) \over \ln^2(2n+1)} - d_n(+1) \leq d_n(-1)-d_n(1)$ et $\displaystyle d_n(-1)-d_n(1) = \frac12 {\cos(4n) \over \ln^2(2n) (\ln(2n) -1)} - \frac12 {\cos(4n+2) \over \ln^2(2n+1) (\ln(2n+1) +1)} -\frac12 {\cos(4n) \over \ln^2(2n) (\ln(2n) +1)} + \frac12 {\cos(4n+2) \over \ln^2(2n+1) (\ln(2n+1) -1)} + \\ \displaystyle + O({1 \over n \ln^4(n)}).$
Erreur de calcul : la différence $d(-1) - d(1)$ n'annule pas le terme en $x$ de la proposition 8 mais le double !
Proposition 10 : énoncer les résultats du cours sur les séries de Bertrand, énoncer le test de Dirichlet, et montrer que les séries suivantes convergent : $\displaystyle \sum_{n \leq 1} {\ln(1+{1 \over 2n} )\over \ln(2n)\ln(2n+1)} $, $\displaystyle \sum_{n \leq 1}{\cos(2n) \over \ln^2(2n)} $, $\displaystyle \sum_{n \leq 1} {\cos(2n+1) \over \ln^2(2n+1)} $, $\displaystyle \sum_{n \leq 1} {\cos(4n) \over \ln^2(2n) (\ln(2n) + x)}$, $\displaystyle \sum_{n \leq 1} {\cos(4n+2) \over \ln^2(2n+1) (\ln(2n+1) - x)}$, $\displaystyle \sum_{n \geq 2} O({1 \over n \ln^4(n)}).$
Proposition 11 : montrer que cette série diverge $\displaystyle \sum_{n \leq 1} {-2 \over \ln^2(2n) (\ln^2(2n)-1)} .$
Proposition 12 : soit une série $A$ et une série $B$ telles que, pour tout $\displaystyle n \geq 1$, $\displaystyle 0 \leq a_n \leq b_n$ et la série $B$ est convergente. Montrer que la série $A$ converge.
Proposition 13 : soit une série $A$ et une série $B$ telles que, pour tout $\displaystyle n \geq 1$, $\displaystyle a_n + b_n = c_n$ avec la série $C$ convergente. Montrer que les séries $A$ et $B$ sont de même nature.
Démonstration :
Conclure que la série $U$ diverge.
La série $\displaystyle v - d(+1)$ converge ; les séries $v$ et $\displaystyle d(+1)$ sont de même nature ; la série $\displaystyle d(+1)$ est la somme de séries qui convergent et d'une série divergente, donc elle diverge. La série $v$ diverge. La série $U$ diverge.
joriki a démontré que cette série converge, problème !
(Je n'ai pas regardé tes calculs pour le moment)
Je travaille seul... mais j'ai fait une erreur (voir correction). Donc je n'arrive toujours pas à m'en sortir. Je cherche encore un peu et je regarderai l'autre démonstration de 'joriki'. Avec un développement limité, sans ne marche pas, à n'importe quel ordre ; avec le test de Cauchy, je n'y arrive pas car le terme $\sin(2n + \frac12)$ change de signe trop souvent ; avec des majorations (ma tentative plus haut), il reste toujours un terme qui gâche la fête... ; avec une comparaison avec une intégrale, même histoire où la majoration diverge...
@Simeon@...
Stp et si tu as un peu de temps
peux-tu nous expliquer la preuve de joriki
Merci @gebrane0 de poser cette question : je séchais aussi sur cette majoration de $M_k$ par une puissance de $k$.
Consolation de "minable" de voir que je ne suis pas le seul à caler !
$$1 - \cos(j+\pi) = 1 - \cos(x) = 2\sin\left(\frac x2\right)^2 \geq \frac{2|x|^2}{\pi^2}.$$
Mais par ailleurs, $|x|$ ne peut pas être trop petit ! Effet, il existe $\alpha > 0$ tel que $|\pi - \frac pq| \geq |q|^{-(\alpha+1)}$ pour tout $(p,q)\in\Z\times\Z^*$ avec $|q|$ assez grand. Si on note $q$ l'entier impair tel que $x = j - q\pi$, on obtient alors
$$
|x| =\left|\pi - \frac{j}{q}\right| \times |q| \geq |q|^{-\alpha}
$$
pour tout $j$ assez grand car $q\pi = j + O(1)$. Ainsi $\dfrac{2}{1- \cos(j+\pi)} = O(j^{2\alpha})$, d'où finalement :
$$
\boxed{\displaystyle\sum_{j=0}^k \frac{2}{1-\cos(j+\pi)} = O(k^{2\alpha+1})}
$$
P.S. les spécialistes connaissent maintenant de meilleures bornes.
Ce point ne me posait pas de problème, on en a parlé souvent dans ce Forum
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,68802,68833#msg-68833
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,398134,398134#msg-398134
Si $x$ est proche de $\pi$, bof... mais bon on s'en fiche, ça ne change pas les $O$ et le reste. C'était histoire d'intervenir dans ce topic...
Mais j'aurais pu m'en passer...
> C'était histoire d'intervenir dans ce topic... Mais j'aurais pu m'en passer...
Une idée, pourquoi ne pas reprendre la demo de joriki ici et la rendre plus digérable pour les visiteurs de 2030
(on ne sera pas là peut-être pour les guider !)
https://www.rms-math.com/index.php?option=com_staticxt&Itemid=65&staticfile=RMS117-497.html