série alternée coriace

bonsoir

ta série alternée converge vers une limite comprise entre 1 et 2

on prendra par commodité n = 3, 4, 5.....etc..(ce qui ne change pas la nature de la série)

tu procèdes par encadrement : -1 < cosn < 1 (strictement)

d'où l'encadrement du terme général $u_n$ pris en valeur absolue de la série :

$\frac{1}{ln(n) + 1} < |u_n| < \frac{1}{ln(n) - 1}$ donc $|u_n| \sim \frac{1}{ln(n)}$

or on sait que la série alternée de terme général $\frac{(-1)^n}{ln(n)}$ avec n = 2, 3........
converge vers une limite positive

la constante 1 ajoutée ou soustraite à ln(n) pour n > 2 strictement ne change rien à la nature de la série

et donc ta série doublement alternée converge

cordialement

Deux posts avec des raisonnements qui ne tiennent pas la route ...

Ben, conclus alors !

Bonjour,

Pouvez-vous me dire si on peut conclure ?
On sait, par les test de Dirichlet, que la série de terme general ${\sin(n) \over \ln(n)} $ converge ; que dire de la série de terme general $O({\sin(n) \over \ln(n)}) $ ?

@YvesM
On ne peut rien dire ( sans convergence absolue)
$\sum \frac {(-1)^n}n$ converge mais on ne sait rien sur $O(\frac {(-1)^n}n)$

edit c'est un duplicata de ce qu' a dit skyfer :-P

Je ne comprends toujours pas par quel argument tu souhaites conclure et encore moins ce que tu souhaites faire.

${\sin^2(n) \over \ln(n)} = O({\sin^2(n) \over \ln(n)})$ aboutit à une série divergente mais $0=O({\sin^2(n) \over \ln(n)})$ aboutit à une série convergente.

voir plus bas

On pourrait dans la lignée de Siméon démontrer qu'on a avec $\varepsilon>0$:
$$\sup_{t\in\mathbb{R}}|f(t+T)-f(t)| \leq \varepsilon$$
Avec $f(x)=\frac{1}{ln(x+1)+cos(x+1)}$
La fonction serait alors presque périodique (au sens de Bohr)
Cordialement.

Je crois que la question était bien résolue ici https://math.stackexchange.com/questions/21175/convergence-of-the-series-sum-limits-n-2-infty-frac-1n-lnn puisque
$\displaystyle \sum_{n=n_0}^\infty\frac{(-1)^n}{\ln n+\cos n}=
\sum_{n=n_0}^\infty \frac{(-1)^n}{\ln(n)} \frac{1}{1+\frac {\cos n}{\ln(n)}}=
\sum_{n=n_0}^\infty \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\ln(n)} \frac{{(-1)^k}\cos^k(n)}{\ln^k(n)}$

oui skyffer ta série diverge comme somme de deux série de natures différentes

Tu poses $v_n=$ta suite - $\frac {(-1)^n}{\ln(n)}$
par magie $v_n$ est du signe constant et équivalente à $\frac 1{\ln^2(n)}$

@skyffer3 : @gebrane0 veut dire que la réalité est magique ;-).

@Alexique
J'attends avec impatience comment tu vas expliquer la preuve de MSE sur le Forum ilemaths
Tu as du boulot sur la planche :-D

Je propose, question liée, de montrer que $$\sum_{n\geq 1} \dfrac{\exp ( i nx)}{\ln(n)}$$ diverge pour tout $x$ réel et ceci par des transformations d'Abel.

Je pense répondre à la question initiale par ce biais : en sommant le sinus et montrant que les $1/log^2$ tendent vers zéro...Mais les log+cos ne sont pas décroissants...Désolé.

@Satan
Tu ne lis pas les messages précédents ! :-D
Une fois sur la monotonie de ln+cos et une sur la nature de $\sum_{n\geq1} \dfrac{(-1)^n}{\ln(n)+ \cos (an)}$ qui diverge en $a=\pi$

Satan écrivait :

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> Oui, mais ça diverge autour de toute valeur de $a$

Peux-tu m'expliquer le sens de cette phrase ?

Bonjour,

D'abord merci à @Alexique pour cette série alternée coriace. Voici ma démonstration que cette série diverge.

Soit $n$ un entier non nul, soit la suite numérique $u$ définie par $\displaystyle u_n = {(-1)^n \over \ln(n) + \cos(n)}, n \geq 1$, soit la série $\displaystyle U = \sum_{n \geq 1} u_n.$ On cherche la nature de la série $U.$

Je rédige par proposition pour plus de rapidité.

Soit $\displaystyle x \in \{-1, 1\}$ et la suite $d(x)$ définie par, pour tout $\displaystyle n \geq 1$, $\displaystyle 2 d_n(x) = {1 \over \ln^2(2n)(\ln(2n) + x)} - {1 \over \ln^2(2n+1)(\ln(2n+1) -x)} + {\cos(4n) \over \ln^2(2n) (\ln(2n) + x)} - {\cos(4n+2) \over \ln^2(2n+1) (\ln(2n+1) - x)}.$

Proposition 0 : la suite $u$ est définie sur $\displaystyle n \geq 1$ et numérique.
Proposition 1 : la série $U$ est alternée.
Proposition 2 : $\displaystyle u_n \to 0, (n \to \infty).$
Proposition 3 : la série $U$ est de même nature que la série $v$ définie par $\displaystyle v_n = u_{2n} + u_{2n+1}, n \geq 1.$
Proposition 4 : $\displaystyle v_n - ({1 \over \ln(2n)} - {1 \over \ln(2n+1)}) + {\cos(2n) \over \ln^2(2n)} - {\cos(2n+1) \over \ln^2(2n+1)} = {\cos^2(2n) \over \ln^2(2n)(\ln(2n) + \cos(2n))} - {\cos^2(2n+1) \over \ln^2(2n+1)(\ln(2n+1) + \cos(2n+1))}.$
Proposition 5 :
$\displaystyle {\cos^2(2n) \over \ln^2(2n)(\ln(2n) +1)} - {\cos^2(2n+1) \over \ln^2(2n+1)(\ln(2n+1) -1)} \leq v_n - {\ln(1+{1 \over 2n}) \over \ln(2n)\ln(2n+1)} + {\cos(2n) \over \ln^2(2n)} - {\cos(2n+1) \over \ln^2(2n+1)} \leq \\ \displaystyle \leq {\cos^2(2n) \over \ln^2(2n)(\ln(2n) -1)} - {\cos^2(2n+1) \over \ln^2(2n+1)(\ln(2n+1) +1)}.$
Proposition 6 : $\displaystyle {\cos^2(2n) \over \ln^2(2n)(\ln(2n) +x)} - {\cos^2(2n+1) \over \ln^2(2n+1)(\ln(2n+1) -x)} = d_n(x).$
Proposition 7 : $\displaystyle d_n(+1) \leq v_n - {\ln(1+{1 \over 2n}) \over \ln(2n)\ln(2n+1)} + {\cos(2n) \over \ln^2(2n)} - {\cos(2n+1) \over \ln^2(2n+1)} \leq d_n(-1) .$
Proposition 8 : $\displaystyle {1 \over \ln^2(2n)(\ln(2n) + x)} - {1 \over \ln^2(2n+1)(\ln(2n+1) -x)} = {-2 x \over \ln^2(2n) (\ln^2(2n)-1)} + O({1 \over n \ln^4(n)}).$
Proposition 9 : $\displaystyle 0 \leq v_n - {\ln(1+{1 \over 2n} )\over \ln(2n)\ln(2n+1)} + {\cos(2n) \over \ln^2(2n)} - {\cos(2n+1) \over \ln^2(2n+1)} - d_n(+1) \leq d_n(-1)-d_n(1)$ et $\displaystyle d_n(-1)-d_n(1) = \frac12 {\cos(4n) \over \ln^2(2n) (\ln(2n) -1)} - \frac12 {\cos(4n+2) \over \ln^2(2n+1) (\ln(2n+1) +1)} -\frac12 {\cos(4n) \over \ln^2(2n) (\ln(2n) +1)} + \frac12 {\cos(4n+2) \over \ln^2(2n+1) (\ln(2n+1) -1)} + \\ \displaystyle + O({1 \over n \ln^4(n)}).$
Erreur de calcul : la différence $d(-1) - d(1)$ n'annule pas le terme en $x$ de la proposition 8 mais le double !
Proposition 10 : énoncer les résultats du cours sur les séries de Bertrand, énoncer le test de Dirichlet, et montrer que les séries suivantes convergent : $\displaystyle \sum_{n \leq 1} {\ln(1+{1 \over 2n} )\over \ln(2n)\ln(2n+1)} $, $\displaystyle \sum_{n \leq 1}{\cos(2n) \over \ln^2(2n)} $, $\displaystyle \sum_{n \leq 1} {\cos(2n+1) \over \ln^2(2n+1)} $, $\displaystyle \sum_{n \leq 1} {\cos(4n) \over \ln^2(2n) (\ln(2n) + x)}$, $\displaystyle \sum_{n \leq 1} {\cos(4n+2) \over \ln^2(2n+1) (\ln(2n+1) - x)}$, $\displaystyle \sum_{n \geq 2} O({1 \over n \ln^4(n)}).$
Proposition 11 : montrer que cette série diverge $\displaystyle \sum_{n \leq 1} {-2 \over \ln^2(2n) (\ln^2(2n)-1)} .$
Proposition 12 : soit une série $A$ et une série $B$ telles que, pour tout $\displaystyle n \geq 1$, $\displaystyle 0 \leq a_n \leq b_n$ et la série $B$ est convergente. Montrer que la série $A$ converge.
Proposition 13 : soit une série $A$ et une série $B$ telles que, pour tout $\displaystyle n \geq 1$, $\displaystyle a_n + b_n = c_n$ avec la série $C$ convergente. Montrer que les séries $A$ et $B$ sont de même nature.

Démonstration :
Conclure que la série $U$ diverge.

La série $\displaystyle v - d(+1)$ converge ; les séries $v$ et $\displaystyle d(+1)$ sont de même nature ; la série $\displaystyle d(+1)$ est la somme de séries qui convergent et d'une série divergente, donc elle diverge. La série $v$ diverge. La série $U$ diverge.

Bonjour,

Je travaille seul... mais j'ai fait une erreur (voir correction). Donc je n'arrive toujours pas à m'en sortir. Je cherche encore un peu et je regarderai l'autre démonstration de 'joriki'. Avec un développement limité, sans ne marche pas, à n'importe quel ordre ; avec le test de Cauchy, je n'y arrive pas car le terme $\sin(2n + \frac12)$ change de signe trop souvent ; avec des majorations (ma tentative plus haut), il reste toujours un terme qui gâche la fête... ; avec une comparaison avec une intégrale, même histoire où la majoration diverge...

Bonjour !
Merci @gebrane0 de poser cette question : je séchais aussi sur cette majoration de $M_k$ par une puissance de $k$.

Consolation de "minable" de voir que je ne suis pas le seul à caler !

Merci Simeon pour cette rapidité et cette efficacité. Ce n’étais pas si évident! encore merci

@Simeon
Ce point ne me posait pas de problème, on en a parlé souvent dans ce Forum
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,68802,68833#msg-68833

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,398134,398134#msg-398134

Alexique écrivait :

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> C'était histoire d'intervenir dans ce topic... Mais j'aurais pu m'en passer...

Une idée, pourquoi ne pas reprendre la demo de joriki ici et la rendre plus digérable pour les visiteurs de 2030
(on ne sera pas là peut-être pour les guider !)

Il y a une preuve rédigée proprement dans la rms du résultat de ce topic ^^

https://www.rms-math.com/index.php?option=com_staticxt&Itemid=65&staticfile=RMS117-497.html