Problème sur la définition de la Jacobienne

anthomedal
anthomedal
dans Analyse
Bonjour à tous, je n'arrive pas du tout à comprendre l'équivalence des deux définitions de la matrices Jacobiennes. En effet si on considère une fonction $f : \mathbb{R} ^p \rightarrow \mathbb{R}^q $, et $a$ un point d'un ouvert de $\mathbb{R}^p$, on définit la matrice jacobienne de $f$ au point $a$ comme étant la matrice de la différentielle de $f$ en $a$ exprimée dans les bases canoniques des deux espaces. Partant de cette définition, j'aimerais savoir comment se convaincre que la matrice jacobienne de $f$ au point $a$ est aussi la matrice des dérivées partielles que l'on connait bien...
Merci d'avance !

Réponses

  • anthomedal
    anthomedal
    Par exemple, si on se donne $j \in \{1,...,p\}$, par définition, la j-eme colonne de $Jacf(a)$ est donnée par les coordonnées de $d_a f(e_j)$ dans la base $(e_1,...,e_q)$, c'est à dire :
    $d_a f(e_j)= A_{1j}e_1 + ... + A_{qj} e_q$
    $f(a+e_j)-f(a)-o(1)= A_{1j}e_1 + ... + A_{qj} e_q$
    Je ne vois toujours pas de où peuvent sortir les dérivées partielles...
  • flipflop
    flipflop
    Salut,

    C'est quoi la définition des dérivées partielles ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ne vois-tu pas de rapport entre l'application linéaire $\R^p\to \R^q$ différentielle de $f$ en $a$ et les dérivées partielles en $a$ des composantes $f_1,\ldots,f_q$ de $f$ ?
    Tu peux commencer par $q=1$.

    Tu devrais voir que $A_{i,j}=\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}$.

    PS. Ton écriture $f(a+e_j)-f(a)-o(1)= A_{1j}e_1 + ... + A_{qj} e_q$ n'a pas de sens.
    Ce qui ferait sens, c'est par exemple
    $$f(a+he_j)=f(a) + hAe_j +o(h)\;.$$
  • Link
    Link
    Je suppose que l'on peut écrire par définition de la différentielle : $f(a+te_j)-f(a)=d_af(te_j)+o(te_j)$
    or $d_af(te_j) = td_af(e_j)$, en divisant les deux côtés par t et en faisant tendre t vers 0, on a égalité entre la dérivée partielle par rapport à $e_j$ (côté gauche) et la jème colonne de la Jacobienne (côté droit). On utilise aussi que $o(te_j)=t\epsilon(e_j)$
  • anthomedal
    anthomedal
    On note $f=(f_1,..., f_q)$ et les dérivées partielles de $f$ sont de la forme $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ où i est compris entre 1 et q et j entre 1 et p, avec
    $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)=lim_{h\rightarrow 0} \frac{ f_i(a_1,..., a_j + h,..., a_p) -f(a)}{h}$
  • anthomedal
    anthomedal
    D'accord je veux bien écrire ca mais si on utilise la définition d'une application linéaire dans une base je vois pas pourquoi on peut pas écrire ce que j'ai dit, je combien juste les définitions...
  • anthomedal
    anthomedal
    Mais c'est bon j'ai compris, merci beaucoup ! Bonne journée ^^
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