équivalence

Je relance la question en espérant qu'il y a ceux qui peuvent aider:-(

en $d=1$ on a

$\displaystyle f=\sum_{\alpha\in \mathbb{N}}f_{\alpha}\frac{x^{\alpha}}{\sqrt{\alpha!(2\pi\;h)^{|\alpha|}}}\in F_h^s$
si et seulement si
$\displaystyle \int_{\mathbb{C}}<x>^{2s}|f(x)|^2\frac{e^{-\frac{|x|^2}{2h}}}{(2\pi h)}\;d(Re\;x)\;d(Im\;x)<+\infty$
si et seulement si
$\displaystyle \int_{\mathbb{C}}<x>^{2s}\sum_{\alpha_1\in \mathbb{N}}f_{\alpha_1}\frac{x^{\alpha_1}}{\sqrt{\alpha_1!(2\pi\;h)^{|\alpha_1|}}}
\sum_{\alpha_2\in \mathbb{N}}\bar{f_{\alpha_2}}\bar{\frac{x^{\alpha_2}}{\sqrt{\alpha_2!(2\pi\;h)^{|\alpha_2|}}} }\frac{e^{-\frac{|x|^2}{2h}}}{(2\pi h)}\;d(Re\;x)\;d(Im\;x)<+\infty$

et je veux utiliser le fait que $\frac{-2h}{x}\partial_{\bar{x}}e^{-\frac{|x|^2}{2h}}=e^{-\frac{|x|^2}{2h}}$
\begin{align*}
\displaystyle \int_{\mathbb{C}}&<x>^{2s}\sum_{\alpha_1\in \mathbb{N}}f_{\alpha_1}\frac{x^{\alpha_1}}{\sqrt{\alpha_1!(2\pi\;h)^{|\alpha_1|}}}
\sum_{\alpha_2\in \mathbb{N}}\bar{f_{\alpha_2}}\bar{\frac{x^{\alpha_2}}{\sqrt{\alpha_2!(2\pi\;h)^{|\alpha_2|}}} }\frac{e^{-\frac{|x|^2}{2h}}}{(2\pi h)}\;d(Re\;x)\;d(Im\;x)\\&=\displaystyle \int_{\mathbb{C}}<x>^{2s}\sum_{\alpha_1\in \mathbb{N}}f_{\alpha_1}\frac{x^{\alpha_1}}{\sqrt{\alpha_1!(2\pi\;h)^{|\alpha_1|}}}
\sum_{\alpha_2\in \mathbb{N}}\bar{f_{\alpha_2}}\bar{\frac{x^{\alpha_2}}{\sqrt{\alpha_2!(2\pi\;h)^{|\alpha_2|}}} }(\frac{\frac{-2h}{x}\partial_{\bar{x}}e^{-\frac{|x|^2}{2h}}}{(2\pi h)})\;d(Re\;x)\;d(Im\;x)\\&=2h \int_{\mathbb{C}}\partial_{\bar{x}}\Big(\frac{1}{x}<x>^{2s}\sum_{\alpha_1\in \mathbb{N}}f_{\alpha_1}\frac{x^{\alpha_1}}{\sqrt{\alpha_1!(2\pi\;h)^{|\alpha_1|}}}
\sum_{\alpha_2\in \mathbb{N}}\bar{f_{\alpha_2}}\bar{\frac{x^{\alpha_2}}{\sqrt{\alpha_2!(2\pi\;h)^{|\alpha_2|}}} }\Big)\frac{e^{-\frac{|x|^2}{2h}}}{(2\pi h)}\;d(Re\;x)\;d(Im\;x)\\&=2h \int_{\mathbb{C}}\sum_{\alpha_1,\alpha_2\in \mathbb{N}}f_{\alpha_1}\bar{f_{\alpha_2}}\frac{\partial_{\bar{x}}\Big(\frac{1}{x}(1+|x|^2)^sx^{\alpha_1}\bar{x^{\alpha_2}\Big)}}{\sqrt{\alpha_1!(2\pi\;h)^{|\alpha_1|}}\sqrt{\alpha_2!(2\pi\;h)^{|\alpha_2|}}}
\frac{e^{-\frac{|x|^2}{2h}}}{(2\pi h)}\;d(Re\;x)\;d(Im\;x) \\&=2h \int_{\mathbb{C}}\sum_{\alpha_1,\alpha_2\in \mathbb{N}}f_{\alpha_1}\bar{f_{\alpha_2}}\frac{\partial_{\bar{x}}\Big(\frac{1}{|x|^2}(1+|x|^2)^sx^{\alpha_1}\bar{x^{\alpha_2+1}\Big)}}{\sqrt{\alpha_1!(2\pi\;h)^{|\alpha_1|}}\sqrt{\alpha_2!(2\pi\;h)^{|\alpha_2|}}}
\frac{e^{-\frac{|x|^2}{2h}}}{(2\pi h)}\;d(Re\;x)\;d(Im\;x)
\end{align*}
dans l'avant dernière ligne j'ai faire une intégration par parties mais je n'arrive pas à trouver le résultat