équivalent d'une suite d'intégrales
dans Analyse
Bonsoir
Je sèche sur un exercice vu sur BEOS (exercice numéro 1898 donné aux concours mines ponts 2015) qui demande un équivalent de
$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{dx}{(1+x)(2+x)\cdots(n+x)} \ $ et on donne une indication : introduire $\dfrac{f_n'(x)}{f_n(x)}$
J'encadre cette intégrale entre $1/(n)!$ et $1/(n+1)! $, c'est immédiat.
En décomposant en éléments simples j'arrive à calculer cette intégrale, c'est laid : je trouve
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{(1)^{k-1}}{(k-1)!(k+n)!}\big(\ln(k+1)-\ln(k)\big)$ et là je suis bloqué. J'ai peut être fait une erreur de calcul, ou y a une autre méthode ?
En plus je n'arrive pas à utiliser l'indication.
Quelqu'un a une idée ?
Merci par avance à ceux qui pourront me décoincer.
Je sèche sur un exercice vu sur BEOS (exercice numéro 1898 donné aux concours mines ponts 2015) qui demande un équivalent de
$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{dx}{(1+x)(2+x)\cdots(n+x)} \ $ et on donne une indication : introduire $\dfrac{f_n'(x)}{f_n(x)}$
J'encadre cette intégrale entre $1/(n)!$ et $1/(n+1)! $, c'est immédiat.
En décomposant en éléments simples j'arrive à calculer cette intégrale, c'est laid : je trouve
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{(1)^{k-1}}{(k-1)!(k+n)!}\big(\ln(k+1)-\ln(k)\big)$ et là je suis bloqué. J'ai peut être fait une erreur de calcul, ou y a une autre méthode ?
En plus je n'arrive pas à utiliser l'indication.
Quelqu'un a une idée ?
Merci par avance à ceux qui pourront me décoincer.
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Réponses
Je réfléchis à quoi ça peut nous être utile, peut-être une IPP...
Soit $I_n$ l'integrale initiale. La decomposition en elements simples donne $n!I_n=\int_0^1g_n(x)dx$ avec
$$g_n(x)=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}C^k_n\frac{k}{x+k}$$ On utilise $\frac{k}{x+k}=\int_0^1 kt^{x+k-1}dt$ pour obtenir $g_n(x)=n\int_0^1 t^x(1-t)^{n-1}$ , par $\frac{d}{dt}(1-t)^n.$ Par Fubini
$$\int_0^1g_n(x)dx=n\int_0^1(1-t)^{n-1}\left(\int_0^1 t^x dx\right)dt=-n\int_0^1\frac{(1-t)^n}{\log t}dt=\int_0^n\frac{(1-\frac{u}{n})^n}{\log n-\log u}du\sim_{n\to \infty}\frac{1}{\log n}\int_0^{\infty}e^{-u}du.$$
Bonjour
Tu as trouvé quoi comme équivalent ?( présence d'un n! et ln(n) ?)
je suis parti de $\displaystyle \frac{f_n'(x)}{f_n(x)} = -\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+x}$ et le résultat s'en suit ( Top secret)
Donc $\dfrac{f'_n(x)}{f_n(x)}=-\sum_{k=1}^n 1/(x+k)$
Alors en encadrant par la comparaison avec une intégrale, le rapport est compris entre $\int_1^{n+1} dt/(x+t)$ et $1/(x+1)+\int_1^n dt/(x+t)$. ces bornes je les minore et majore par une expression qui ne dépend pas de x.
Puis je retourne à l'intégrale en encadrant $f_n()$ par $f'_n(x)$ divisé par mes bornes qui ne dépendent pas de x. et j'aboutis finalement à un encadrement par des expressions qui sont équivalentes.
Mon résultat : équivalent à $\dfrac{1}{ln(n).n!}$. Ce qui est ce qu'a donné P. par une méthode beaucoup plus rapide mais que je n'ai pas regardée. Je vais le faire. J'espère du coup que ma démonstration est juste.
Excusez moi de ne pas tout écrire, je ne suis pas rapide en Tex.
En tout cas merci à toutes et tous (je ne connais pas les pseudos et il y a sans doute des femmes)
J'ai essayé de voir sur internet, mais ce n'est pas de mon niveau.
Il ne trouve pas comme moi, et il a sans doute raison, il est plus compétent que moi. Je ne vois pas où j'ai faux.
Il faudrait que j'envoie ma démonstration. Je vais essayer de la taper si vous voulez bien la corriger.
Merci.
j'avais marché !!!
Mais c'est nul de faire ça, quand on est pas à l'aise, on ne sait plus quoi penser après et j'ai perdu du temps à chercher mon erreur. J'étais trop content au début d'avoir terminé.