somme=produit

Bonjour,

C'est une devinette ou tu cherches des indications ?

On montre d'abord que la suite $u$ est bien définie.

Pour $\displaystyle u_0 >1$, on peut calculer $\displaystyle u_1, u_2$ puis une expression de $\displaystyle u_n$ et établir par récurrence que $\displaystyle u_n >1$ ; puis on calcule la différence $\displaystyle u_{n+1}-u_n$ et on montre que la suite $u$ est strictement monotone décroissante : la suite $u$ converge vers une limite $\displaystyle \ell \geq 1.$
Grâce à la décroissance, on trouve une expression sur la limite $\ell$ par majoration/ minoration des termes successifs, et alors on montre par l'absurde que $\ell >1$ est contradictoire. Il ne reste que $\displaystyle \ell = 1.$

Puis on traite $\displaystyle u_0<1$...

Bonjour,

Pour $\displaystyle u_0=0$, la suite $u$ est stationnaire et vaut $0$ à tout ordre.

Pour $\displaystyle u_0<0$, on montre par une récurrence forte que, pour tout $\displaystyle n \geq 1$, on a $\displaystyle 0<u_n<1.$ On forme la différence $\displaystyle u_{n+1}-u_n$ pour montrer que la suite $u$ est strictement monotone croissante : la suite $u$, bornée et strictement monotone, converge sur une limite $\ell$ avec $\displaystyle 0 \leq \ell \leq 1.$ Grâce à la monotonie on encadre les termes successifs et on trouve une inégalité sur la limite $\ell.$ Si $\displaystyle \ell=1$ : contradiction car $\displaystyle u_0 <0.$ Donc on a $\displaystyle 0 \leq \ell <1$ et comme dans ce cas $\displaystyle \ell^n \to 0, (n \to +\infty)$, alors le théorème des gendarmes permet de conclure que $\displaystyle \ell=0.$

Puis on traite le cas $\displaystyle 0 <u_0<1$... qui promet d'être intéressant.

Bonjour,

Pour $\displaystyle 0<u_n<1$, on calcule $\displaystyle u_1, u_2, u_3, u_4$ et on montre que $\displaystyle u_1<0$ mais $\displaystyle u_2, u_3, u_4 >0$... On montre donc par une récurrence forte que, pour tout $\displaystyle n \geq 2$, on a $\displaystyle 0<u_n<1$ ; puis la différence $\displaystyle u_{n+1}-u_n$ montre que la suite $u$ est strictement décroissante (à partir du rang $2$). La suite $u$ est bornée et strictement monotone, donc elle converge vers la limite $\ell$ telle que $\displaystyle 0 \leq \ell \leq 1.$ Une majoration montre que $\displaystyle \ell \leq 1-{1 \over 1-u_0u_1u_2^n} \to 0, (n \to +\infty)$ : on a donc $\displaystyle \ell=0.$

Finalement, l'expression utile du terme général pour cet exercice est $\displaystyle u_0+u_1 + \cdots +u_{n} = u_0u_1 \cdots u_{n} $ et donc $\displaystyle u_0+u_1 + \cdots +u_{n+1} = u_0u_1 \cdots u_{n+1} \implies (u_0+u_1 + \cdots +u_{n}) + u_{n+1} = u_0u_1 \cdots u_{n+1} \implies u_0u_1 \cdots u_{n} + u_{n+1} = u_0u_1 \cdots u_{n+1}$ et on factorise $\displaystyle u_{n+1} = 1-{1 \over 1- u_0u_1 \cdots u_{n} }.$

Bonjour à tous,

C'est bien l'un des exercices "bac Amérique du nord 2017" donné le 2 juin 2017, n'est ce pas?(avec des questions intermédiaires, bien sûr)
Au lycée, nous l'avons traité hier, à titre de révision. Les élèves n'ont pas aimé, car ils l'ont trouvé "original" à défaut d'être difficile; révélateur, non?

PG

Bonjour,

J'ai cru que l'expresion utile était avec un produit et tu montres que la somme permet de conclure rapidement. La prochaine fois j'essaierai les deux alternatives... En tout cas, j'ai 4 points à cet exercice du bac. C'est déjà pas mal.