Relation $\mathbb{E}(\|X+Y\|-\|X-Y\|)\geq 0$

P.
P.
dans Analyse
Soit $m(du)$ la mesure d'aire sur la sphère unité $S$ de l'espace euclidien $E$. Alors l'égalité, pour $x\in E$ $$\int_S\int_\R(1-\cos (t\langle x,u\rangle))m(du)\frac{dt}{t^2}=C\|x\|$$ est un joli truc qui permet de montrer l'affirmation du titre quand $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires indépendantes et de même loi à valeurs dans $E$ (admettant un premier moment naturellement). Je mets le sujet non en proba mais en analyse car on voudrait, l'inutile ici, valeur de $C.$

Réponses

  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    Je connaissais la formule : $$\left( \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right)^{n}\int_{\mathbb{R}^{n}}\exp(-\frac{||x||^{2}}{2})\vert <x,u> \vert dx=||u||$$ qui permet aussi de démontrer l'inégalité que tu as présentée.... Elle se ramène via cette formule à étudier le cas de la dimension $1$ pour des VA uniformes sur des ensembles finis ce qui est nettement plus facile!
  • Siméon
    Siméon
    @BobbyJoe : aurais-tu une référence à propos de ceci ?
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    Non désolé, il s'agissait d'un oral d'ULM....
    Voilà la stratégie :
    1) On établit l'inégalité pour des VA réelles suivant la loi uniforme sur un ensemble fini.
    2) On établit l'inégalité pour des vecteurs aléatoires dont la loi jointe est une loi uniforme sur un ensemble fini.
    3 On approche en variation totale (par un couplage) n'importe quelle loi par des loi uniformes discrètes sur un ensemble fini.
  • Siméon
    Siméon
    Ah dommage... J'ai démontré ça un peu par hasard il y a quelques années et je n'ai jamais su si c'était quelque chose de connu.

    Voir : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,870482.

    Sais-tu quand l'exo a été posé ?
  • BobbyJoe
    BobbyJoe
    Probablement l'an passé....
    Ah dommage, il faut publier (et vite) mon ami ^^
    Blague à part, ce type d'inégalité est probablement connu... mais de là à trouver une référence, c'est une autre histoire ^^
  • P.
    P.
    Je veux bien remplacer l’intégration sur la spèere par une integrale gaussienne puisqu'apres tout la plupart des calculs sur la mesure uniforme sur la sphère se font commodément en la considérant comme la loi du rayon d'une gaussienne. Toutefois, je trouve les considérations pour le cas de dimension 1 un peu compliquées, alors que $\int_{R}\frac{1-\cos tx}{t^2}=\pi|x|$ mène a $$\mathbb{E}(|X+Y|-|X-Y|)=2\pi \int_{\R}\mathbb{E}\left(\frac{\sin tX}{t}\frac{\sin tY}{t}\right)dt$$ qui est positif si $X$ et $Y$ sont iid. Cette astuce est due à Jacek Wesolowski.
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