Calcul d'un équivalent asymptotique

guigui13 · June 2017

Bonsoir,

Je cherche à comprendre comment résoudre un problème d'optimisation en asymptotique. J'ai un entier positif $n$ et n'importe quelle fonction croissante et strictement positive $f(x)$. J'aimerais trouver un équivalent asymptotique de la plus petite valeur $k$ satisfaisant l'inéquation suivante
$$\sum_{i=1}^k f(i) \geq n.$$
Peut-on systématiquement dire que $k \sim n/f(n)$ ? Si la réponse est non, quelles sont les conditions sur $f$ pour qu'on puisse le dire ?

Merci beaucoup pour cet éclaircissement.

Guigui

BobbyJoe · June 2017

L'équivalent est clairement à reprendre car si $f$ tend trop vite vers l'infini,cela ne peut pas marcher! ($k(n)$ tend nécessairement vers l'infini vu tes hypothèses)
En revanche, en introduisant la fonction $\displaystyle \phi : x \longmapsto \int_{1}^{x}f(t)dt$, on devrait plutôt (via l'heuristique de la comparaison série-intégrale) avoir $\displaystyle k(n) \sim \phi^{-1}(n).$