Norme d'algèbre
Bonjour,
Je me demandais si une algèbre sur le corps des réel admet toujours une norme sous-multiplicative.
(En dimension finie, c'est toujours vrai).
Il me semble avoir lu il y a longtemps un exercice sur ce thème en considérant l'algèbre des fonctions réel, mais je ne le retrouve plus.
Merci pour votre aide.
Je me demandais si une algèbre sur le corps des réel admet toujours une norme sous-multiplicative.
(En dimension finie, c'est toujours vrai).
Il me semble avoir lu il y a longtemps un exercice sur ce thème en considérant l'algèbre des fonctions réel, mais je ne le retrouve plus.
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Réponses
Que signifie cette expression ?
Pour information, une norme "tout court" prolongeant la valeur absolue n'existe que sur 3 sur-corps de $\mathbb R$, dont deux commutatifs qui sont $\mathbb R,\mathbb C$ et un non-commutatif qui est $\mathbb H$ (quaternions).
Cette affirmation est le célèbre théorème de Gelfand-Mazur, sauf erreur, qui m'avait fait poster plusieurs posts dans le passé (le corps des grandeurs du monde n'est pas normable).
Mais comme tu as ajouté le mot "sous-..." :-D ça change tout.
Soit $f\in A$ la fonction $f(n)=n$. Pour tout $n\in\N$, soit $e_n\in A$ la fonction telle que $e_n(k)=1$ si $k=n$ et $e_n(k)=0$ sinon.
Soit $n$ un entier tel que $n>||f||$. On a $ne_n=fe_n$, donc $n\,||e_n||=||fe_n||\leqslant ||f||\,||e_n||$. En simplifiant par $||e_n||$, il vient $n\leqslant ||f||$, ce qui est contradictoire.
Ta démonstration s'adapte en plus à l'exercice que j'avais lu il y a longtemps!