Problème de limite uniforme

romainp
romainp
dans Analyse
Bonsoir,

Sauriez-vous pourquoi si $p$ est un entier plus grand que $1$, $x \mapsto \exp(-px)$ est limite uniforme sur $\mathbb R^+$ de fonctions de la forme $x\mapsto P(x)\exp(-x)$ où $ P$ est polynomiale ?

Merci d'avance, bonne soirée !

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Je ne connais pas cette section des maths... avertissement. Ne dit-on pas que toute fonction continue sur un segment est limite uniforme de fonctions polynomiales ? Et $||P(x) e^{-x} - e^{-px} || \leq ||P(x) - e^{-(p-1)x} || ||e^{-x} ||$ et comme $e^{-x} \leq 1, x \geq 0$ et $e^{-(p-1)x} \leq 1, x \geq 0$ alors on peut conclure (à la physicienne)... car alors $P$ s'approche de la fonction $x \mapsto e^{-(p-1)x}, 0 \leq x \leq b$ pour tout $b>0$ et on passe à la limite puisque $x \mapsto e^{-(p-1)x} \to 0, (x \to +\infty), p>1.$
  • romainp
    romainp
    @YvesM effectivement c'est l'idée ! Je peine à écrire cela de manière rigoureuse... j'ai l'impression que la considération d'une "bonne" fonction devrait suffire mais laquelle ?...
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Il faudrait que d'autres sur le forum indiquent une solution... je vais écrire des conneries très rapidement sur ce sujet. Pourquoi ne pas définir la fonction $x \mapsto e^{-(p-1)x} 1_{[0,b]}, b >0$ : elle est continue sur le segment $[0,b]$ et donc limite uniforme de fonctions polynomiales $P_n(x) \to e^{-(p-1)x} 1_{[0,b]}, b >0, (n \to +\infty).$ Et comme $x \mapsto e^{-x}$ est continue, bornée et tend vers $0$ à l'infini, j'ai envie d'en conclure que $P_n(x)e^{-x} \to e^{-px} 1_{[0,b]}, b >0, (n \to +\infty).$ Comme s'est vrai pour tout $b$, à la limite...
    Mais comme je ne sais même pas écrire la définition d'une limite uniforme... je ne sais pas t'aider plus.
  • mojojojo
    mojojojo
    Le problème n'est pas résolu par application immédiate du théorème de Weierstrass (enfin je peux toujours me tromper), voilà pourquoi :

    Supposons $p=2$, c'est la même chose pour les autres entiers. Ce qu'on a envie de faire c'est prendre $P_n$ un polynôme tel que $\sup_{0\leq x \leq n}|P_n(x)-e^{-x}|\leq 1/n$. Malheureusement rien n’empêche $P_n$ d'exploser après $n$. Par exemple il pourrait vérifier $|P_n(2n)|\geq 2 e^{2n}$ ce qui entraînerai $\sup_{t\in\mathbf R}|P_n(x)e^{-x}-e^{-2x}|\geq 1$ et empêcherai donc la convergence uniforme.

    Ce qu'il faut c'est trouver un $P_n$ convenable de sorte à ce qu'on puisse le contrôler devant $e^{x}$ lorsque $|P_n(x)-e^{-x}|$ cesse d'être petit. J'ai essayé quelques estimées (à la truelle) avec $P_n(x)=1-x+...+(-x)^n/n!$ mais je n'ai pas réussi. Il faut donc faire des estimés plus fines que les miennes ou changer de technique, il existe sans doute une preuve non constructiviste et non calculatoire.
  • romainp
    romainp
    @YvesM, @mojojo merci pour vos idées ! Je vais creuser le problème et je partagerai une éventuelle solution !
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Un début d'idée : on sait que, $\displaystyle x \mapsto (1-{x \over n})^n \to e^{-x}, (n \to +\infty), x \in \R, n \geq 1$ et $\displaystyle x \mapsto (1-{x \over n})^n$ est polynomiale.
  • bisam
    bisam
    Si p est strictement compris entre 1 et 2, (et si je ne me suis pas trompé dans mes calculs) la suite des fonctions $f_n:x\mapsto\left(1-\frac{(p-1)x}{n}\right)^ne^{-x}$ converge uniformément vers $x\mapsto e^{-px}$, ce que l'on démontre aisément en calculant effectivement la norme infinie.
    Au-delà, il faut travailler un peu plus... mais je ne me rappelle plus comment.
  • Siméon
    Siméon
    Voici un plan de solution :
    1. Établir la convergence uniforme de la suite de fonctions $(x \mapsto \left(1-\frac xn\right)^n e^{-x/2})_{n\in\N^*}$.
    2. En déduire (par récurrence) que pour tout $p \in \N$ et tout $\varepsilon > 0$, il existe des entiers $n_1,\dots,n_p$ tels que
    $$
    \sup_{x\in\R_+} \left|\,e^{-(p+1)x} - e^{-x}\prod_{i=1}^p \left(1-\frac x{n_i}\right)^{n_i}\right| < \varepsilon.
    $$


    @bisam : arrives-tu vraiment à calculer la norme infinie de manière explicite ?
  • bisam
    bisam
    Euh, en fait, je crois que j'ai complètement déliré...
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Une idée : On définit la famille de polynômes $\displaystyle P_n(x) = (1+{x \over n})^n (1-{px \over n})^n , n \geq 1, p >1.$ On a une convergence simple $\displaystyle P_n(x) \to e^x e^{-px}, (n \to +\infty).$ On en déduit la convergence simple : $\displaystyle P_n(x) e^{-x} \to e^{-px}, (n \to +\infty).$
    Pour la convergence uniforme, on définit $\displaystyle Q_n(x) = P_n(x) e^{-x} - e^{-px}$ et on montre (si l'on peut) que $\displaystyle \sup_{t \geq 0} |Q_n(t)| \leq {C \over n}, C>0$ pour conclure.

    Mais je n'ai pas le temps de faire les calculs...
  • Siméon
    Siméon
    @YvesM : l'idée est bonne mais il n'y a pas du tout convergence uniforme en s'y prenant de cette manière (par exemple, $\lim_{n\to\infty} Q_n(n) = +\infty$ pour $p \geq 3$).

    C'est la raison pour laquelle je vous ai indiqué un itinéraire de déviation.
  • gebrane
    gebrane
    Bonjour,

    @Simeon

    J'ai essayé mais je ne vois pas pourquoi $(x \mapsto \left(1-\frac xn\right)^n e^{-x/2})_{n\in\N^*}$ converge uniformément sur $]0,+\infty[$
    Le 😄 Farceur


  • Siméon
    Siméon
    @gebrane : une idée simple est de découper $[0,+\infty[$ pour distinguer les différents régimes.
    Pour $x \in [0, \log(n)]$, tu peux contrôler la différence avec $|(1-x/n)^n - e^{-x}| \leq n | 1 - x/n - e ^{-x/n}| \leq \frac{\log(n)^2}{2n}$.
    Il reste alors à vérifier que $\sup_{x > \log(n)} |1-x/n|^ne^{-x/2}$ tend vers $0$ lorsque $n\to\infty$, ce qui se fait bien.
  • gebrane
    gebrane
    Merci Simeon pour ces indications
    Le 😄 Farceur


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