Règle de l'Hôpital et preuve ?

Que veut dire la question ?

La règle de L'Hôpital est un théorème, avec des hypothèses et une conclusion. On peut appliquer ce théorème dans toutes les situations où les hypothèses sont vérifiées (ce qui est le cas pour tous les théorèmes).

Tu te trompes.

Théorème (Règle de l'Hospital). On suppose que les fonctions réelles $f$ et $g$ sont définies et continues sur un intervalle $I$ contenant $a$, et que $f(a)=g(a)=0$. On suppose aussi que $f$ et $g$ sont dérivables sur $I\setminus\{a\}$, et que ni $g$ ni $g'$ ne s'annulent sur $I\setminus\{a\}$. Si
$$\lim_{x\to a,\ x\in I\setminus\{a\}} {f'(x)\over g'(x)}=\ell,$$
alors
$$\lim_{x\to a,\ x\in I\setminus\{a\}} {f(x)\over g(x)}=\ell,$$

Démonstration. Soit $x\in I$, $x\not=a$. D'après le théorème des accroissements finis généralisé, il existe $c$ strictement compris entre $a$ et $x$ tel que
$${f'(c)\over g'(c)}={f(x)-f(a)\over g(x)-g(a)}={f(x)\over g(x)}.$$
Quand $x$ tend vers $a$, $c$ (qui dépend de $x$) est coincé entre $a$ et $x$, et tend aussi vers $a$. Donc si $f'/g'$ a une limite en $a$, $f/g$ a la même limite.

@Gabu
Ton théorème ( la version que tu as donné) sur la règle de l'Hospital ne peut pas expliquer directement ces calculs:
$\lim\limits_{t\to +\infty}\frac {\sqrt x}{\ln(x)}=\lim\limits_{t\to +\infty}\frac {\frac 1{2\sqrt x}}{\frac 1x}=\lim\limits_{t\to +\infty}\frac {\sqrt x}{2}=+\infty$

(edit à lire $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac {\sqrt x}{\ln(x)}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac {\frac 1{2\sqrt x}}{\frac 1x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\frac {\sqrt x}{2}=+\infty$ merci bisam )

et là, je comprends son souci: Ma question est pourquoi quand on utilise la règle de l'Hospital ce n'est pas suffisant pour prouver un résultat.

Bonsoir !
Ecrire directement l'égalité des limites de $\dfrac{f}{g}$ et $\dfrac{f'}{g'}$ ce n'est pas le théorème énoncé par @GaBuZoMeu : par conséquent ce n'est pas suffisant pour une démonstration.

Maintenant, on peut compléter l'énoncé de @GaBuZoMeu par le cas d'une limite infinie : le théorème de l'Hospital est encore valable.

Voici une démonstration : Soit $f,g$ à valeurs réelles, dérivables sur un voisinage de $+\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ (aucune condition sur la limite éventuelle de $f$) et $g'$ ne s'annulant pas pour $x>x_0$. On suppose que $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=+\infty$.

Alors $g'$ garde un signe constant pour $x>x_0$, on supposera $g'$ positive.

Soit $\mu>0$. Il existe $x_1>x_0$ tel que $x>x_1\implies f'(x)\geqslant2\mu\,g'(x)$.
Par inégalité des accroissements finis : $x>x_1\implies f(x)-f(x_1)\geqslant2\mu(g(x)-g(x_1))\implies f(x)\geqslant f(x_1)+2\mu g(x)-2\mu g(x_1)$.

La limite infinie de $g$ implique l'existence de $x_2$ tel que $x>x_2\implies f(x_1)-2\mu g(x_1)\geqslant-\mu g(x)$.
Pour $x>\max(x_1,x_2)$ on a donc $f(x)\geqslant\mu g(x)$...
A noter que la démonstration n'a pas besoin de savoir que $f$ a une limite, contrairement au cas de la forme indéterminée $\dfrac00$.

Par changement de variables $u(t)=f(a+1/t),\;v(t)=g(a+1/t)$ on se ramène au cas de limite à gauche ou à droite d'un réel $a$.

edit, après avoir lu la note de @bisam : il ne me semble pas que cette démonstration comporte des hypothèses compliquées au point de la rendre peu utile.
A mon avis elle est même plus utile que le cas de la forme indéterminée $\dfrac00$ qui, très souvent, peut être remplacée par des considérations d'équivalents ou de développements limités.