Équivalent en l’infini des $B_{2n}$.

L2M · June 2017

Bonsoir,

Pour déterminer un équivalent en l’infini des $B_{2n}$ (nombres de Bernoulli) on utilise la relation : $\displaystyle B_{2n}=\frac{2(-1)^{n-1}(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\zeta(2n)$ avec $\zeta(2n) \to 1$.
Y a-t-il une autre méthode ?

Merci.

skilveg · June 2017

Peut-être en utilisant le rayon de convergence de la série génératrice ?

Edit : en cherchant, j'ai trouvé ta question sur StackExchange, et il y a des réponses dont celle-ci que je mets pour les éventuels intéressés : MSE.com/a/784407.

L2M · June 2017

@skilveg : C'est cet équivalent qui permet de déterminer le rayon de convergence de la série génératrice des $B_n$, qui est $2\pi$. Merci.

skilveg · June 2017

Mais non, puisqu'on connaît dès le départ le pôle le plus proche de $0$ de la série génératrice. Non ?

L2M · June 2017

@skilveg : oui, je commence à comprendre le truc. Merci.

L2M · June 2017

@skilveg : peux-tu m'envoyer vers des cours (liens) qui traitent cette technique en détail.

Poirot · June 2017

Je ne vois pas en quoi le rayon de convergence peut donner des informations sur les coefficients d'une série entière.

Exemples : $\displaystyle \sum_n z^n$, $\displaystyle \sum_n \frac{z^n}{n}$, $\displaystyle \sum_n nz^n$, $\displaystyle \sum_n (\log n) z^n$, $\displaystyle \sum_n (-1)^n z^n$ etc. ont même rayon de convergence mais pas du tout le même comportement asymptotique.

mojojojo · June 2017

@ Poirot : si le rayon de convergence de $\sum a_n z^n$ est $2\pi$ alors on sait que $\limsup \sqrt[n]{|a_n|}=1/2\pi$, et on en déduit que pour tout $\varepsilon>0$ il existe une infinité de $a_n$ tels que $(1/2\pi-\varepsilon)^n\leq |a_n|\leq (\varepsilon+1/2\pi)^n$ et qu'on n'a qu'un nombre fini de $a_n$ tels que $|a_n|\geq (\varepsilon+1/2\pi)^n$. Ce n'est pas aussi bon qu'un équivalent mais ça donne quand même une idée.

skilveg · June 2017

Je précise que je ne suis pas spécialiste, que mon approche instinctive est plutôt d'utiliser la relation avec les valeurs de $\zeta$, et que le $2\pi$ conduit assez naturellement à se souvenir de l'expression de la série génératrice définissant les $B_n$.

@Poirot : le lien mis plus haut parle de déduire le comportement asymptotique des coefficients d'une fonction rationnelle, en exploitant en plus les résidus en les pôles proches de l'origine. Dans tes exemples, sauf erreur, certains ne sont pas rationnels, les autres n'ont pas forcément les mêmes pôles ni les mêmes résidus.

@L2M : j'aimerais bien, mais je n'ai pas de référence, non... Pourquoi ne pas poser la question à la personne ayant donné la réponse (qui a l'air de considérer qu'il s'agit de techniques standard) ?

En y réfléchissant, tout cela me fait penser à de la combinatoire analytique (de la connaissance d'une série génératrice, déduire une asymptotique des coefficients). Même s'il s'agit sans doute de techniques plus générales d'analyse complexe, peut-être chercher des références dans cette direction ?

Poirot · June 2017

@skilveg : $z \mapsto \frac{z}{\mathrm{e}^z-1}$ n'est pas vraiment rationnelle...

@mojojojo : merci pour ce rafraîchissement de mémoire.

skilveg · June 2017

@Poirot : lis le lien que j'ai copié ! Il utilise un tour de passe-passe pour faire comme si la fonction était rationnelle en utilisant le fait qu'elle n'a que des pôles dénombrables sans points d'accumulation. Je ne dis pas que je suis capable de vérifier ce qu'il affirme, juste que ça a l'air assez solidement étayé.