Une inégalité

Jesse · July 2017

Bonjour,

Voyez-vous une preuve courte de l'inégalité suivante ? (J'en ai une routinière, longue et moche. C'est pour ça que je me demande s'il n'y en aurait pas une plus élégante, utilisant des inégalités classiques (genre Minkowski) ou une étude de fonction...) Merci. $$\forall x_{0}\geq 0, \forall \varepsilon >0, \forall x \geq 0, \quad x-x_{0}-|x-x_{0}| \leq \sqrt{x^{2}+\varepsilon+|x-x_{0}|} - \sqrt{x_{0}^{2}+\varepsilon} $$

YvesM · July 2017

Bonjour,

Cette inégalité est fausse : est-ce une typo ?

Démonstration : on choisit $x-x_0 >0$ et alors $|x-x_0| = x-x_0$ : le membre de gauche est nul. On a alors $\sqrt{x^2+\varepsilon + x-x_0} \leq \sqrt{x_0^2+\varepsilon} $ que l'on élève au carré pour obtenir : $x^2+\varepsilon + x-x_0 \leq x_0^2+\varepsilon$ puis $(x-x_0)(x+x_0+1) \leq 0$ : contradiction.

Jesse · July 2017

Bonjour,

Si $x-x_{0}>0$ alors l'inégalité devient $ \sqrt{x_{0}^{2}+\varepsilon}\leq \sqrt{x^{2}+\varepsilon+x-x_{0}} $ et non pas $\sqrt{x^{2}+\varepsilon+x-x_{0}}\leq \sqrt{x_{0}^{2}+\varepsilon} $ comme tu as écrit. Et avec la même méthode que toi, on prouve l'inégalité dans ce cas-là.

C'est lorsque $x-x_{0}<0$ qu'il y a encore deux autres cas à distinguer et c'est pourquoi je cherche une preuve plus courte.
Merci tout de même.

YvesM · July 2017

Bonjour,

Merci d'avoir relevé mon étourderie. Pour l'autre cas, je ne vois pas de méthode élégante. Les termes dans les radicaux sont dissimilaires...