Suites oscillantes et convergence p.p.

EXERCICE
C'est fini la blouse de médecin ?

@Remarque: peut être avec un peu de théorie des nombre ? En parlant de théorie des nombres, on peut utiliser le joli théorème suivant : Soit $n_k$ une suite strictement croissante d'entiers, pour presque tout $x$ la suite $(n_k x)_k$ est équirépartie modulo 2. Ce qui donne immédiatement le résultat :-D

On voudrait juste montrer quelque chose comme "$(\lfloor n_k x\rfloor)_k$ diverge dans $\mathbf Z/2\mathbf Z$ pour presque tout $x$", ce qui est un résultat plus faible que le théorème que j'ai énoncé mais je doute que ce soit plus simple à démontrer.

Soit $n\mapsto u(n,x)$ la suite de bits de $x$ en base $2$.
Soit $\alpha: \N \to \N$ une fonction strictement croissante.
Si $p,q\in \N$ soit $V_{p,q}$ l'ensemble des $x\in \R$ tels qu'il existe $2q+1$ entiers $b,k_1,...,k_q, \ell_1,...,\ell_q$ supérieurs à $p$ tels que:
pour tout $i\in \{1,...,q\}$, $b>k_i$ , $b>\ell_i$, $u\big(\alpha (k_i),x\big)=0$ et $u \big(\alpha (k_i),x\big)=1$
et tels que $2^bx$ ne soit pas entier.

Alors pour tous $p,q$, $V_{p,q}$ est un ouvert de $\R$ (c'est la raison pour laquelle on a introduit ce mystérieux $b$) et cet ouvert est dense dans $\R$ (évident).
L'intersection des $V_{p,q}$ est dense par Baire et dessus, $u(n,\_)$ ne peut pas converger (car n'est pas constante à partir d'un certain rang).

Pour la première suite (NB: $n\mapsto u(n,\_)$ en est une sous-suite après transformation affine) un argument similaire doit marcher, en un peu plus technique.

A vue de nez, les $V_{p,q}$ sont de mesure pleine.
En fait si $\alpha: \N \to \N$ est strictement croissante, l'application qui à $x\in [0,1]$ associe $\sum_{k=0}^{+\infty} 2^k u\left (\alpha(k),x \right)$ préserve la mesure de Lebesgue (ça revient à extraire une sous-suite de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes identiquement distribuées: on retrouve une suite de même loi).

En fait si $u: x\in [0,1] \mapsto (\lfloor 2^n x\rfloor)_{n \in \N} \in \{0,1\}^{\N}$, l'image de la mesure de Lebesgue $\mu$ par $u$ est la mesure produit usuelle $\mu'$sur $\{0,1\}^{\N}$. Soit à nouveau $\alpha:\N \to \N$ strictement croissante et $p_{\alpha}: s\in \{0,1\}^{\N} \mapsto (s_{\alpha(n)})_{n\in \N}$.

Alors:
1°) Pour tout $x\in [0,1]$, $p_{\alpha}\circ u (x)=\left (u_{\alpha(n)} (x)\right )_{n\in \N}$.
2°) l'image de $\mu'$ par $p_{\alpha}$ est $\mu'$ elle-même: en effet la tribu usuelle de $\{0,1\}^{\N}$ est engendrée par les parties cylindriques (i.e. les parties vides ou de la forme $\left \{ x \in \{0,1\}^{\N} \mid \forall i \in \{1,...,d\}, x_{k_i} = e_i\right \}$ où $d\in \N^*$, $e\in \{0,1\}^d$ et $k_1<...<k_d$), qui forment une famille stable par intersection finie sur laquelle $\mu'$ et $\mu' \# p_{\alpha}$ coïncident et on applique le lemme de classe monotone.

Bref si on note $\nu \# g$ l'image de la mesure $\nu$ par la fonction $g$, et si $T$ est l'ensemble des éléments de $\{0,1\}^{\N}$ non constants à partir d'un certain rang, alors
$$\mu \left (\left \{x\mid \big (u_{\alpha(n)} (x) \big)_{n \in \N} \in T \right\} \right)
=(p_{\alpha} \circ u) ^{-1}(T)
=\mu \# (p_{\alpha} \circ u) (T)
= (\mu \# u) \# p_{\alpha} (T)
=\mu' \# p_{\alpha} (T)
= \mu' (T)
=1 $$.

Or $ \left \{x\mid \big (u_{\alpha(n)} (x) \big)_{n \in \N} \in T \right\}$ est également l'ensemble des $x\in [0,1]$ tels que $\big (u_{\alpha(n)} (x) \big)_{n \in \N} $ diverge.

Bref il y a convergence sur un ensemble de mesure nulle après extraction.


Traduit en langage probabiliste, 2°) exprime simplement le fait que si $(X_n)_{n\in \N}$ est une suite de lancers de piles ou faces équilibrés et indépendants, $\left (X_{\alpha(n)} \right )_{n\in \N}$ en est aussi une et l'idée consiste en fait à dire que si la première diverge presque sûrement la seconde fait de même.

Mais comment prouve-t-on qu'un représentant exhibé des sous-suites de cette suite oscillante lui est égal excepté sur un ensemble inclus dans un ensemble de mesure nulle ? :-S


Au fait : remarque = remark (simple translation)

Ok, bon mais de toute façon le fait que la moyenne converge vers $1/2$ sur chaque intervalle est équivalent à la convergence faible vers $1/2$. D'où le "en faisant semblant" de mon deuxième message.

Remar-k-que a écrit:

fake news ?

Tu dis ça, mais remark s'intéressait à des questions de proba et tu viens juste d'admettre que c'était parfois "pas dénué d'intérêt", c'est louche :-P

Enigme a écrit:

Le premier disparut,
l'autre apparut,
l'autre disparut,
Le premier réapparut
Quis-suis-je ? :-D

On dirait le jour et la nuit