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@cc
Parles-tu de quoi? Moi je trouvais que tu étais négligeant dans l’énoncé de ton théorème. Un étudiant débutant pourrait croire par exemple que $[0,1]$ avec la métrique $d$ définie par $d(x,x)=0$ et $d(x,y)=1 si x\neq y$ est compact.
Mon intervention se résume au fait
On peut être négligeant (ne pas donner tous les détails) dans une démonstration et même donner une démonstration fausse n'a aucun effet sur la vérité d'un théorème, mais être négligeant sur l’énoncé du théorème lui même, c'est grave (sous prétexte : mais évidement sous-entendu ceci et cela...)
Aussi tu étais négligeant dans l’énoncé du théorème 1 "Toute partie bornée de $\R$ admet une borne supérieure" , je me demandais pourquoi cc inclut la partie vide dans ce théorème, est-ce que le vide admet une borne sup. Après on va me dire mais oui, petit gebrane0, on prend une partie non vide et aussi pourquoi choisir dans ton énoncé le mot borné et non pas le mot majoré.
cc tu peux compresser une preuve, mais on ne compresse pas l’énoncé d'un théorème.

Bonjour,
christophe c http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1507930,1509836#msg-1509836

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> Ces équivalences et implications étant évidentes dès lors qu'on admet la linguistique mathématique standard et les admis du collège.
> Pour gebrane, par exemple, il peut être un bon exercice d'en prendre 2 au hasard et de démontrer que l'une implique l'autre sans passer par les autres et en quelques lignes.


Que signifie la partie "admettre la linguistique mathématique standard" ?

Merci.

@Krokop : si tu lis l'anglais, essaie ceci : https://math.stackexchange.com/questions/2388577/is-the-ivt-equivalent-to-completeness/2388654#2388654

Soit $(F+,\times,\leq)$ un corps commutatif ordonné.
Notons $F_+^*:=\{x\in F\mid x>0\}$
Si $f: F \to F$ est une application, et $a\in F$, un nombre dérivé de $f$ en $a$ est un élément $d\in F$ tel que pour tout $\varepsilon \in F_+^*$ , il existe $\alpha\in F_+^*$ tel que pour tout $x\in F$, $$a-\alpha <x<a+\alpha \implies d-\varepsilon < \frac{f(x)-f(a)}{x-a} < d+\varepsilon$$.

Un tel $d$, s'il existe, est unique (*). Une application $g:F\to F$est dite dérivable si pour tout $u\in F$ ,n il existe un nombre dérivé en $u$, noté souvent $g'(u)$. Par exemple toute fonction constante $f$est dérivable, et pour une telle fonction, $f'(x)=1$ pour tout $x$. Sur ce on a le théorème suivant:

Si pour toute fonction $f: F\to F$ dérivable et telle que $f'$ est nulle, on a $f$ constante, alors $(F,\leq)$ a la propriété de la borne supérieure.

Preuve: soit $A\subseteq F$ non vide et majoré dans $F$ par un certain $m$. Soit $f:F\to F$ définie par $f(x)=0$ s'il existe $t\in A$ tel que $x<t$ et $f(x)=1$ dans le cas contraire. Soit $y\in F$ un élément qui n'est pas une borne supérieure de $A$. Alors:

(i) Si $y$ majore $A$, il existe aussi par hypothèse $z$ tel que $z<y$ et $z$ majore $A$ et par suite pour tout $u\in F$ tel que $u>z$, $f(u)=1$ ce qui entraîne que $0$ est un nombre dérivé de $f$ en $y$ (prendre $\alpha>0$ tel que $\alpha$ et $\alpha<u-z$ et appliquer la définition).

(ii) si $y$ ne majore pas $A$, par définition il existe $t\in A$ tel que $y<t$. Alors pour tout $x\in F$ tel que $x<t$, on a $f(x)=0$ et par suite, $f$ admet $0$ comme nombre dérivé en $x$ (prendre $0<\alpha<t-x$ et faire comme en (i) ).

***

Il résulte de (i) et (ii) ci-dessus que si $A$ ne possède pas de borne supérieure, alors $f$ est (partout) dérivable et $f'$ est identiquement nulle, et donc par hypothèse constante, cependant $f(m)=1$ et si $a\in A$, $f(a-1)=0$ et un tel $a$ existe puisque par hypothèse $A\neq \emptyset$. Contradiction.

Je suis curieux de voir quels cercles vicieux la rigor mortis peut trouver dans ce raisonnement ;-).
Le paragraphe de CC est très elliptique certes mais tient la route (même si l'idée de supposer des résultats de dérivée pour montrer un énoncé plus élémentaire est saugrenue).





[size=x-small](*)si $d$ et $d'$ sont deux nombres dérivés de $f$ en $a$, tels que sans perte de généralité, $d<d'$, prendre $\varepsilon = \frac{d'-d}{3}$ et aboutir à une contradiction.[/size]

Bonjour,

Merci Christophe mais pourquoi toutes ses propriétés sont évidentes ? Enfin comme "caractérises"-tu ces évidences ?
Je prends le TAF, il implique $\Bbb{R}$ complet (d'après toi ): pourquoi est-ce évident ? (je ne parle pas de la preuve, j'espère que la réponse n'est pas "c'est psychologue etc" )




pldx1: je n'ai pas l'impression que la preuve donné dans le lien de paf utilise la connexité, mais bon j'ai lu en diagonale.

Super Foys, merci pour ces précisions instructives.

Christophe tu avais dit "évidentes dès lors qu'on admet la linguistique mathématique standard et les admis du collège.", je t'avais demandé ce que tu entendais par là et la réponse n'était pas "au langage près"

Là ta réponse est claire et précise, merci.

Attitude de cretains X:-(

Bonjour,

Gebrane0, si je lis ce que Christophe écrit c'est $E\rightarrow P$ qui est évident et évident signifie conjonction des axiomes donnés en juste au dessus. D'ailleurs le théorème dit qu'il existe un axiome tel que blabla mais pas de "procédure" pour le trouver (sauf erreur ou rien compris ).

Cela dit, j'ai pas encore médité, ne serait-ce que les abréviations...

Merci Christophe, fort probable que je revienne vers toi d'ici peu.

C'est le terme "évident" (sens bien précis ici et distinct du sens commun) qui rend spectaculaire (sens de l'émotion) le théorème.
Mais je crois qu'il est mal choisi.

J'ai beau relire ton post Christophe, je ne comprends pas vraiment ta définition de $A$ et $B$ (pareil pour $A$ ou $B$). Je sais les "traduire" mais comment "vois"-tu quelles donnent $A$ et $B$ ?