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Liste de contenus de base bac+1 analyse NC

Envoyé par christophe c 
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Bon moi je ne comprends plus l'intérêt de ce fil.

Tout le monde est d'accord que si on n'apprend pas à manipuler la logique et le langage mathématique on n'arrive à rien. Tout le monde est d'accord que ce pdf ne contient aucune preuve. Tout le monde est d'accord que donner les idées essentielles de ces 10 théorèmes du pdf ne prend pas 50 pages.

So what ????



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par skyffer3.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Je vais refaire le même reproche j'ai fait à hehehe et peut être à toi-même avant: résumer ce que j'ai émis à "on peut donner les idées essentielles en une page" est bien pire sue s'opposer à mon message ! C'est faire comme s'il n'existait pas donc qu'il n'y ait même pas besoin de le contredire.

Il devrait être clair que ce n'est pas du tout ce que fait le pdf. Je le répète son but est de détecter qui PARLE LM. Et qui ne le parle pas. Et ce independemment de TOUTE COMPETENCE MATHÉMATIQUE.

Votre rhétorique à hehehe et toi (et peut être d'autres) consiste à (volontairement ou non) faire comme s'il y avait besoin d'avoir fait des maths pour parler LM et le trouver évident. Et donc à vous opposer à mon position mais sans le dire plutôt en le mimant "genre tu as tellement tort cc qu'on ne voit MEME pas le truc avant même de le nier"

Je vous accorde qu'aujourd'hui SOCIOLOGIQUEMENT seuls les gens qui ont pratiqué les maths elles mêmes parlent le LM. Mais justement c'est le drame que je dénonce!! Donc s'appuyer sur la factualité sociologique de ce que je dénonce pour me contredire c'est HS.

Transpose la situation au jeu d'échecs. Si seuls les champions européens ayant gagné plein de compétitions avaient été autorisés à prendre connaissance des règles du jeu d'échecs et si quelqu'un dénonçait cette confiscation d'information trouverait-on reglo de lui répondre << bin c'est un fait c'est comme ça, c'est qu'il ne doit pas être possible d'informer les gens des règles des échecs en 2H>>

C'est un peu ça que je subis. Ce genre d'argument.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe c.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
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@cc
Merci mais par contre je ne comprends pas tes critiques
Citation
cc
cet énoncé est appelé axiome de récurrence, et souvent très mal présenté
dans l'enseignement, avec une usine à gaz sur son exposition, doublée d'une usine à gaz sur la façon de l'utiliser, avec une séparation pédagogiste entre intialisation et hérédité, etc)
explique moi pourquoi tu es contre cette preuve ( tu sembles dire qu'il y a confusion entre initialisation et heridité

Montrons que si A est une partie qui n'a pas de minimum , alors A est vide. On montre par récurrence la proprieté P(n): pour tout $m\leq n,\quad m\notin A$
Initialisation : P(0) est vraie, sinon 0 serait le min de A
On suppose P(n) vraie donc les entiers 0;1;...;n ne sont pas dans A
forcement n+1 n'est pas aussi dans A, car sinon n+1 serait le min de A ce qui contredit l'hypothese que A n'a pas de minimum, on conclut que P(n+1) est vraie

Signature:
"Ne vis pas pour que ta présence se remarque mais pour que ton absence se ressente."
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
avatar
Je ne vois pas bien non plus où tout cela nous mène. Quelques remarques:

1) Les concepteurs de programmes (d'enseignement) laissent toujours quelques portes dérobées qui permettent de hacker le programme et d'y faire rentrer à peu près n'importe quoi. Les profs de prépa se sont fait une spécialité de ça; tu t'emploies à faire de même au lycée.

Pour moi, c'est du proof of concept (désolé pour l'anglicisme), mais l'intérêt pour l'enseignement me semble léger, vu que des pros ont du mal à le lire.

2) Christophe, je trouve que certains te répondent de manière inutilement blessante. En même temps, je trouve que tu joues trop les provocateurs; par exemple quand tu prétends écrire un programme simple qui vérifie la validité d'une preuve, et qu'à la fin tu nous donnes un programme qui revient à savoir à calculer des expressions du type (0->0)->(0->1).

Mais peut être que c'est un désaccord philosophique: au fond, pour moi, ce que ton programme teste, ce ne sont pas des mathématiques, puisque c'est un discours qui ne fait pas sens pour un humain.

3) J'aime beaucoup ce forum, mais je trouve parfois désolant d'y voir des disputes pour des broutilles alors que nous sommes d'accord sur l'essentiel. Pendant ce temps, nos pauvres mathématiques ne sont pas défendues.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
@aléa: ça ne mène pas "quelque part plus tard" car on est DEJA arrivé à destination. Ce que je veux dire c'est juste que j'avais répondu à GBZM par une pièce matérielle exigée par lui dans un autre fil et dont il déclarait que je n'allais pas la fournir, c'est tout. Je l'ai d'abord fournie dans l'autre fil sous forme d'un post tapé en 10mn trop rapidement et j'ai ouvert un fil par politesse pour joindre un pdf un peu moins expéditif.

Ce qui a rallongé le fil en dehors bien sur du traditionnel cc-bashing c'est que certains ont réagi à ce pdf sous avoir lu ou en ayant juste survolé l'origine du débat et j'ai du chaque fois dissiper les ambiguïtés.

Je m'aperçois qu'il y a quand-même un truc intéressant et un peu subtil très révélateur qui se produit: c'est que même les experts (ou disons pros diplômés) échouent ici assez nettement à "voir en couleurs" en ce sens que pour eux la partie qui a disparu du pdf et dont la disparition divise par 30 la longueur habituelle est une "partie mathématique comme une autre" qui contenait des maths et n'est pas présente. Pour eux , la plupart, ils ne voient pas la différence de nature entre ce qui est reste présent dans le texte et ce qui en est parti et ça justifie à leurs yeux des railleries comme "la concaténation des idées clé fait une page quel scoop" etc.

Pour tout dire je ne l'avais pas prévu. J'aurais plus volontiers imaginé qu'ils verraient que j'ai retiré la linguistique et rien d'autre. Certains ont même CONSCIEMMENT nié que SEULE la partie langue était partie déclarant (peut être avec d'autres mots) qu'il avait " du niveau" en math ( et non juste en langue) pour la retrouver.

Concernant le programme je crois que tu te trompes sauf erreur: j'ai bien précise sue TOUTES LES MATHS sont gérées. Il ya même un vieil exemple sur le forum où je l'ai exécuté et entré la preuve du théorème de Brouwer dedans et publié le texte en sortie dans un post.

A noter que cette affirmation est un théorème de logique et non une opinion.

PS: ne t'inquiète pas le cc-bashing ne me dérange pas mais j'ai souvent peur qu'il pourrisse les fils. On devrait rappeler dans la charte sue nous sommes ANONYMES et que ça doit induire une décontraction et sérénité en conséquence. Certains s'outragent vraiment comme s'ils étaient vraiment touché personnellement et non comme si leur pseudo avait simplement ses petites mésaventures propres et virtuelles. On l'a encore vu hier soir ou mojojo réagit plus fortement que la seule suite de caractères m.o.j.o.j.o avait été victime de mon erreur (c'est exemple parmi de nombreux!!! flemme d'en chercher un autre)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Bonjour alea.

Je te trouve bien bénisseur dans ton intervention.

Mais je continue de penser que les prétentions de christophec à expliquer au reste du monde comment les mathématiques devraient être enseignées forment un contraste saisissant avec le fait que, trop souvent, le même christophec se plante dans la rédaction de ses prétendues preuves.

Un exemple, un de plus: le point 2.2 2) du document PolemikForum (ce n'est pas moi qui ait choisi un nom pareil). Le fait que l'ensemble des entiers soit non seulement un ensemble ordonné, mais en fait un ensemble bien ordonné est une propriété qui conditionne tout un tas de choses. En donner une preuve qui commence par "la suite arithmétique [n »—> if Vp < n : p §E A then 0 else 1] est ..." est un modèle de pataquès.

Est-ce que la suite est définie par $n \mapsto \left[{\; \rm if \;} [0,n[ \cap A=\emptyset {\; \rm then \;} 0 {\; \rm else \;} 1\right] $, auquel cas "arithmétique" ne fait pas partie de l'hypothèse et doit être prouvé (avant de savoir s'il s'agit ou non de la suite nulle). Ou bien, est-ce que la suite est définie par le fait d'être arithmétique et autre chose, auquel cas il faudrait commencer par prouver que ces deux axiomes sont non-contradictoires.

Il serait amusant que l'inventeur du fameux programme en cinq lignes nous explique comment est-il possible que ce pataquès n'ait pas été détecté (à moins que le fameux programme en cinq lignes n'ait pas été utilisé du tout, ce qui donnerait à penser que l'auteur lui même considère qu'il s'agit d'une boufonnerie).

Cordialement, Pierre.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Toujours de mon téléphone : je ne suis pas les conseils de gebrane de t'ignorer pldx, je te réponds mais je trouve hautement reprochable ce mépris ostentatoire simulé que tu manifestes SYSTÉMATIQUEMENT en refusant l'adressage direct et le tutoiement.

Telecharge le programme de 1ere et informe-toi de ce que signifie l'expression "suite arithmétique" . Tu l'ignores et ce n'est pas un reproche (les programmes du secondaire ne sont euphemisme pas une référence), mais tu te permets étrangement de te "ridiculiser tout seul" suite à cette ignorance.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
@aléa: je réponds à la fin de ton (2): je te preciserai les choses d'un PC. Et tu verras qu'il est difficile de faire plus humain même s'il est vrai que l'histoire a critiqué les systèmes de Hilbert (au profit d'un autre protocole aux apparences plus légères) à tort (manque de recul).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Depuis quand c'est CC qui décide qui est un vrai matheux ou pas ? Si trouver que ton pdf est un ramassis de trucs imbitables rédigés rien que pour toi (la preuve tu n'es même pas capable de répondre vraiment à la question de pldx1 sur le point 2.2.2), alors je ne suis pas un vrai matheux. Mais bon j'imagine que les gens qui m'ont donné le titre de docteur et ceux qui m'ont donné un poste pensent autrement...

Au passage un vrai matheux est capable d'aligner trois lignes de calcul sans faire une syncope...
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
De mon téléphone : je ne comprends pas ta façon d'aborder le sujet. Tu viens pour "baver méchamment et impulsivement" sur un truc qui donne l'impression de ne pas t'interesser du tout de ne pas avoir lu (ou avec quelle mauvaise volonté comme si tu y avais été forcé). Tu "fais exprès" de changer le contexte et dégrader la pièce étudiée.

Pourquoi ne pas tout simplement t'abstenir si tu n'aimes pas parler de ça? Là on a l'impression que tu veux juste lancer des tomates pour évacuer un trop plein de tension. Ça ne fait pas une position argumentée ni même réfléchie.

Même la fin de ton post est bizarre puisque j'ai répondu à pldx à quelque centimètres sur ton écran j'imagine de son post et tu ne l'as pas vu.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Telecharge le programme de 1ere et informe-toi de ce que signifie l'expression "suite arithmétique".

Encore et à nouveau du bluff. Serait-ce si difficile de fournir un lien précis vers un document officiel qui confirmerait l'information (sic) que, en classe de première, l'expression "suite arithmétique" voudrait dire autre chose que "suite dotée d'une raison (additive)" ?

Il est toujours possible qu'un Inspecteur Général de Mathématiques écrive des conneries dans un programme: ne passent-ils pas leur temps à élever des pigeons voyageurs dans leur bureau, sous la statue de Cagnac ? C'est tout l'intérêt d'une relecture.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Je suis sur mon téléphone pldx je ne fournis pas de lien. Et encore un post où tu ne parviens pas à t'adresser à moi avec des "tu" et des "toi" grinning smiley

Tu donnes l'impression de vouloir donner des conférences de presse.

Pour info donc (je me force, je suis gentil): u est arithmétique de raison r abrège pour tout n: u(n+1)=u(n)+r. Et le prog offre l'inférence (admise) "alors pour tout n: u(n) = u(0) +ne u(n) = u(0) + nr (merci à chris93).

Le cas particulier [ r:=0 et u(0):=1 et u arithmétique de raison r ] s'appelle "axiome de récurrence"

Il est donc non seulement démontrable à partir de la 1ere mais même avec le terme identité du lambda calcul (autrement dit il est cas particulier d'un des admis du prog).

Bon je précise que je ne reagirai pas à toutes les blagues comme les 2 dernières où en fait pldx sait très bien tout ça mais cherche à me faire taper des poste pour s'amuser.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par christophe c.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Une petite faute de frappe : $u_n=u_0+nr$...
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
avatar
"Il ne s’agit pas de parler comme les autres, il faut parler d’après la plus grande analogie pour arriver à la plus grande précision ; et ceux qui ont fait cette langue, ont senti que la simplicité du style en fait toute l’élégance : vérité peu connue dans nos langues vulgaires."
Condillac (1715-1780), La langue des calculs
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
avatar
La suite de cc est trivialement arithmetique si l'on suppose que A n'a pas de min. sa suite est definie par $$
u_n=\begin{cases}
0,\quad& \text {si } \forall p\leq n,\ p\notin A,\\
1,& \text {sinon}. \\
\end{cases}
$$ La suite prend uniquement les valeurs 0 et 1.
On suppose que $A$ n'a pas de $\min$. On va montrer que la suite est arithmétique de raison 0 c'est-à-dire $\forall n\in \N,\ u_{n}=u_{n+1}$.
Si $u_n=0$, alors $\forall p\leq n,\ p\notin A$ et forcement $n+1\notin A$ [sinon $n+1$ serait le $\min A$. Contradictoire avec $A$ n'a pas de $\min$] et donc $u_{n+1}=0$.
Si $u_n=1$, alors il existe $p\leq n$ et $p\in A$ mais $n\leq n+1$, donc il existe $p\leq n+1$ et $p\in A$ c'est-à-dire $u_{n+1}=1$.
Donc on a montré que la suite de cc est une suite constante. maintenant son premier terme $u_0=0$ car sinon 0 serait le $\min$ de $A$.
Donc cc démontre que si $A$ n'a pas de $\min$, alors la suite est une suite nulle.

Cette façon de cc évite le raisonnement classique par récurrence (initialisation+hérédité).

Signature:
"Ne vis pas pour que ta présence se remarque mais pour que ton absence se ressente."



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
L'axiome de récurrence est bien évidemment caché dans le fait que pour toute suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r$, pour tout entier $n$ on a $u_n=u_0+nr$. C'est en fait équivalent à l'axiome de récurrence (ça demanderait de préciser dans quel cadre axiomatique on démontre cette équivalence).
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
@cc je ne comprends pas la critique du pédagogisme qui nuirait à l'apprentissage du Language Mathématique.

Pour "donner un sens" à un énoncé , il faut connaitre le language mathématique d'abord.
"communiquer" sous entend faire attention à la précision, s'expliquer et comprendre les autres avec rigueur. Donc il faut savoir utiliser les bon enchainements logiques A=>B et ou etc...
Tout l'objectif du secondaire est de former à ce language mathématique sous prétextes divers, non?
paf
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Citation
skyffer3
Tout le monde est d'accord que si on n'apprend pas à manipuler la logique et le langage mathématique on n'arrive à rien.

Je ne suis pas sûr que tout le monde soit d'accord avec ça, à vrai dire je n'en sais rien par contre je suis sûr qu'il existe des mathématiciens qui ne sont pas d'accord avec la phrase suivante, qui du coup n'est plus tout à fait celle de skyffer3 :

Citation

Tout le monde est d'accord que si on n'apprend pas explicitement à manipuler la logique et le langage mathématique on n'arrive à rien.

J'ai volontairement rajouté un mot qui change beaucoup de choses. Je crois que CC affirme que certains ici ne sont pas d'accord avec cette phrase. Pour ma part, je n'en sais rien et peu m'importe mais par contre, un des mes collègues a vu dans son université des mathématiciens (en pleine refonte des programmes de licence) soutenir qu'un cours de logique et théorie des ensembles élémentaire -le cours habituel de niveau bac+1- était inutile, tournait à vide, ennuyait tout le monde et était une perte de temps et que les étudiants apprendraient tout cela au fur et à mesure, de temps à autre au détour d'un exercice pendant un TD d'algèbre, d'analyse ou de probas, alors même que la majorité des cours et des feuilles de TD mettent l'accent sur le calcul**, à quelques rares exceptions près. Les mêmes estiment précisément que, comme les étudiants ne savent presque plus calculer, l'apprentissage du calcul au sens large doit être intensifié en L1 (ce n'est certes pas faux mais de là à abandonner à ce point...).

Ceci étant, j'ai moi-même subi le soi-disant apprentissage implicite en question en licence : on était certes 2 ou 3 à saisir la remarque le moment venu et à finir par reconstruire le truc nous-mêmes mais la majorité de mes camarades ont fini la L3 maths complètement paumés par le moindre petit bout d'abstraction ou de raisonnement non-calculatoire. Ça n'a pas empêché la majorité d'entre eux de valider la L3 puis d'avoir le CAPES...

Bref, je pense que l'ajout du mot explicitement est important et j'ai l'impression que c'est ce que tente de dire CC (avec raison, à mon avis) en ajoutant que cet enseignement explicite est une condition nécessaire mais pas suffisante pour devenir un très bon matheux, alors que je crois comprendre que certains ici pensent qu'il prétend que c'est une condition suffisante, ce qui n'est pas vrai (tôt ou tard, il faut aussi "de l'inspiration", des idées...).

** Et comme au bac, il s'agit uniquement d'une répétition d'exercices types, le moindre exo qui demande un peu de réflexion perd presque tout le monde.




@cc : que veut dire le nc du titre ?
Si tu veux prouver d'autres théorèmes d'analyse de L1, pourquoi pas celui qui dit que toute fonction continue admet une primitive ? grinning smiley
Ou alors des théorèmes sur les limites de suites et de fonctions (gendarmes, suites adjacentes...)

Par contre, essaie de partir d'un axiome plus sérieux que des théorèmes de 1ere ES, comme le théorème de la borne sup par exemple.



A mon avis, si on arrivait à transformer ce pdf en un truc beaucoup plus clair (mais toujours sur la même idée de ne donner que des pistes pour les preuves sans les rédiger proprement), ça pourrait faire un cours d'analyse de L1 intéressant pour faire en sorte que les étudiants pratiquent la rédaction mathématique (après l'apprentissage de la "règle du jeu") et tentent de comprendre les notions en jeu, à condition de disposer de suffisamment de temps pour qu'ils puissent rédiger toutes les preuves eux-mêmes.

$\;$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par paf.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
avatar
.lol message effacé par erreur

Pour les théorèmes-axiomes 1 et 2, cc a réussi son challenge et son winzip compresseur à bien fonctionné dans le sens qu'il a donné des chemins innovants non classiques ( qu'on trouve pas dans les livres) pour former une preuve.
Aussi cc a reussi son challenge pour le théorème-axiome 3, En supposant f continue sur [0,1] et $f(0)<0<f(1)$ le but est de démontrer que 0 admet un antécédent par f . cc indique un chemin qui mène à cet antécédent :la borne sup de son ensemble A.

[Message rétabli à la demande de l'auteur. AD]

Signature:
"Ne vis pas pour que ta présence se remarque mais pour que ton absence se ressente."



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
1/ Merci à chris93 pour la coquille signalée

2/ J'ai gardé secret jalousement une objection que j'attendais et qui n'est pas moindre, loin s'en faut. Personne ne l'avait faite et pour l'heure seul GBZM dans son post d'her y fait allusion. Je la garde donc pour moi encore quelques temps jusqu'à ce que quelqu'un soit explicite. C'est à dessein que j'utilise le mot "linguistique", mais il est très "fort" de sous-entendus

3/ @Zen: c'est un peu long à détailler. "donner du sens" ne veut pas dire grand-chose sans précision drastique du contexte. Le pédagogisme s'est servi de cette expression pour remplacer les maths par autre chose et obtenir qu'elles ne soient plus enseignées dans le secondaire. Pourtant aux débuts du mouvement pédagogiste qui aurait pensé que ça allait aboutir à cette catastrophe? Ils semblait animé de bonnes intentions. Pour simplifier le schéma, voici ce qui se passe et ce qui se repassera de manière récurrente:

3.1/ Des gens (généralement frustrés et non matheux, comme par exemple les ennemis des maths modernes il y a 50ans**, mais beaucoup plus récemment le pédagogisme) débarquent dans le paysage politique à la recherche de reconnaissance et dénoncent le caractère "difficile" ou "abstrait" etc des maths. La technique est toujours la même: au début on propose d'ajouter de la crème fraiche au poisson qui sinon n'est pas aimé par l'enfant et à la fin, si on n'y prend pas garde, le poisson a disparu et on déverse des flots de chantilly dans les assiettes. Ce qui devait accompagner a remplacé. Typiquemlent, maths=preuves, preuve = forme, et le slogan PARMI d'AUTRES "donner du sens" a servi à éjecter les preuves car unepreuve n'est jamais une affaire de fond (un oridnateur peut arbitrer si un texte est une preuve et en extraire les admis

4/ Merci à paf pour son post précis et qui s'appuie sur des conversations qu'il a eues avec des collègues. Je pense que paf n'est pas le seul à pouvoir témoigner de ce phénomène, et que ce phénomène est extrêmement répandu. J'ajoute une touche désagréable qui n'a rien à voir avec ce qu'a dit paf, c'est que les collègues du supérieur qui s'adonnent à ce genre de campagne politique sont tout bêtement motivés par leur propre incompétence linguistitco-logique, donc ne veulent pas être confrontés à leurs propres turpitudes

5/ @héhéhé: je ne vois pas ce que l'évocation de ta carrière a à voir avec le sujet du fil ou le profil de matheux/vraimatheux. On ne parle pas de recherche dans ce fil mais de "géométrie" des politiques de premier cycle (ce qui n'est pas vraiment de l'enseignement non plus, puisque je ne me mèle pas de ce que font les enseignants en TD ou amphi ou classes de CPGE mais seulement d'intitulés assumés et de nature des choses enseignées). Tu peux très bien être complètement foireux en maths mais super inspiré et résoudre RH ou autre gros problème célèbre et recevoir médailles distinctions et invitations à passer à BFM. Ca n'a rien à voir avec le thème du fil. Je ne parle pas d'être fort ou pas fort. Il serait même de bon ton pour qui veut se vanter d'en avoir vraiment une grosse (tête) de se prétendre nul en compétence structuralo-linguistique des maths et malgré ça de réussir à résoudre des problèmes importants. Il est moins valorisant de trouver les maths faciles quand tu as "le truc" et le mode d'emploi.

6/ Si je trouve un peu de temps, je vais modifier légèrement le pdf.



** ce n'est pas une justification des maths modernes, c'est une "accusation" ou une critique de ses détracteurs. Dénoncer des détracteurs ne veut pas dire légitimer le truc

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
@gebrane0 je ne pense pas que cc a écrit un résumé non présent dans des livres. Dans serge lang, real analysis que j'avais feuilleté pour le CAPES, j'arrivais à peu près aux mêmes postulats de base. Les postulats 5 et 6 je les aurais fait avec des arguments en terme de suites et valeur d'adhérences et raisonnement par l'absurde.
Il peut faire la même chose pour l'algèbre linéaire, qui repose sur la notion de famille libre maximale, les divisons dans les polynômes pour conduire à Bezout, et le théorème fondamental de l'algèbre (que tu démontreras en 3 ième année comme application de Liouville). Tout le reste se déduit par des raisonnements par récurrence plus ou moins sophistiqués.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par zenxbear.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
avatar
@zenxbear
desolé, erreur de manipulation, mon message fut effacé. de toute façon j'en suis qu'au théorème-axiome 3, je les regarde un par un . maintenant je regarde le 4
edit Si un admin peut récupérer le message ça serait bien pour comprendre la critique de zen

Signature:
"Ne vis pas pour que ta présence se remarque mais pour que ton absence se ressente."



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gebrane0.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Je précise ce que dit zen: le pdf annonce juste en un peu moins concis et avec quelques coms que les énoncés suivants sont équivalents:

1/ $\R$ est complet

2/ Toute fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante dessus

3/ Toute fonction de dérivée strictement positive est croissante (intervalle)

4/ Enoncé du théorème de Rolle

5/ Compacité des intervalles fermés bornés de $\R$

6/ Compacité des fermés bornés de $\R^n$

7/ Prop de la borne supérieure pour les parties non vides majorées

8/ Convergence des suites majorées croissantes

9/ TVI

10/ TVE

11/ TAF

etc
De plus ils impliquent l'énoncé du théorème de Heine

Par ailleurs les énoncés suivants sont équivalents et impliqués par n'importe lequel des précédents:

C1/ axiome de récurrence

C2/ Formule de calcul d'une suite arithmétique

C3/ Idem avec suite géométrique

Ces équivalences et implications étant évidentes dès lors qu'on admet la linguistique mathématique standard et les admis du collège. Pour gebrane, par exemple, il peut être un bon exercice d'en prendre 2 au hasard et de démontrer que l'une implique l'autre sans passer par les autres et en quelques lignes.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
avatar
@Gabu
Puisque cc semble insister aussi explique moi dans [www.les-mathematiques.net] pourquoi l'axiome de récurrence est cachée pour donner la formule d'une suite arithmétique parce que ( et corrige moi )
si $u_{n+1}-u_n=a$ par télescopage $u_n - u_0=\sum_{k=0}^{n-1}a=na$

Signature:
"Ne vis pas pour que ta présence se remarque mais pour que ton absence se ressente."
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Bonjour,

Commençons par donner une rédaction correcte du paragraphe 2.2 2).

Soit $A$ une partie de $\def\nn{\mathbb{N}}$ $\nn$. On suppose que cette partie ne possède pas de plus petit élément et on définit $u$ comme étant la fonction $n\mapsto\left[\;{\rm if\;}[0,n[\cap A=\emptyset\;{\rm then\;}0\;{\rm else\;}1\right]$.

Pour un $m$ spécifié, on suppose que $u_{m}=1$. Alors $[0,m[\cap A\neq\emptyset$. Et donc $[0,m+1[\cap A\neq\emptyset$. On en déduit $u_{m+1}=1$, impliquant $u_{m+1}=u_{m}$.

Pour un $m$ spécifié, on suppose que $u_{m}=0$, c'est à dire $[0,m[\cap A=\emptyset$. Si l'on avait $u_{m+1}=1$, on aurait $m\in A$ et $m$ serait le plus petit entier à avoir cette propriété. On a donc $u_{m+1}=0$, impliquant $u_{m+1}=u_{m}$.

On voit donc que, pour tout $m\in\nn$, on a $u_{m+1}=u_{m}$: c'est la définition d'une suite constante. Par ailleurs, pour tout sous-ensemble $A\subset\nn$, $u_{0}=0$, tandis que supposer $A$ non vide, c'est à dire l'existence d'un $a\in A$, conduit à $u_{a+1}=1$. Auquel cas, la suite ne serait pas constante: il vient d'être prouvé que toute partie non vide de $\nn$ possède un plus petit élément.

----

Il suffit de comparer la rédaction ci-dessus avec la bouillie proposée en 2.2 2) du document PolemikForum pour voir que christophec devrait faire moins de bruit avec ses labyrinthes et autres fous en diagonale. La propriété "la suite est arithmétique", c'est à dire $\forall m\in\nn:u_{m}-2u_{m+1}-u_{m+2}=0$ n'a jamais été utilisé, et la suite est constante pour la bonne raison qu'elle ne bouge pas. Le fait qu'elle soit arithmétique est une conséquence (inutile ici) de ce caractère constant, et non pas une étape préalable de la preuve du caractère constant de la suite $u$. En outre, il semble raisonnable de ne pas chercher à montrer que la partie vide posséderait un élément, fut-il petit.

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Et donc le 2.2 2) était encore et à nouveau un raisonnement planté, un de plus, juste après celui du 2.2 1). Voila qui ne suggère pas une grande maîtrise dans le maniement du Langage Mathématique: parler moins, travailler plus serait profitable. Peut-on suggérer néanmoins de conserver la bouffonnerie: "montrer la place occupée par la grammaire une fois qu'elle a été retirée (sic)", il faut bien "récompenser" le lecteur pour avoir parcouru une telle discussion !

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Venons-en au fond: la question potentiellement sous-jacente est de savoir s'il faudrait ou non commencer l'enseignement des mathématiques par de la linguistique structurelle, permettant de distinguer entre une preuve (c'est à dire une preuve correcte) et un gloubi-glouba prétendant être une preuve. La réponse semble être que non. L'expérience montre qu'il n'y a pas moyen de faire apprendre à raisonner autrement qu'en plaçant les étudiants dans des situations où un raisonnement correct est non seulement utile, mais irremplaçable.

Ce n'est pas pour rien que la géométrie se prête si bien à l'apprentissage du raisonnement: lorsque l'on fait une figure, on voit tout un tas de choses. Et lorsque l'on utilise des logiciels de géométrie dynamique, on en voit encore plus. Se pose alors la question de savoir si l'on a bien vu, et surtout de savoir si l'on a tout vu de ce qu'il y avait à voir. La rigueur doit être perçue comme une ossature et non comme un corset. Autrement dit, la rigor mortis n'est pas un objectif.

Cordialement, Pierre.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pldx1.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
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@cc
Ne trouve-tu que La preuve dans [www.les-mathematiques.net] est une copie conforme ( avec maquillage) de [www.les-mathematiques.net]

Signature:
"Ne vis pas pour que ta présence se remarque mais pour que ton absence se ressente."
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Essayons de prévoir une réponse. Si $n$ est donné, par exemple $n=7$, on a $7=6+1=1+1+1+1+1+1+1$ et donc
$$\sum _{n=1}^7 a= a + \sum _{n=1}^6 a = a+a+a+a+a+a+a=7a$$ Autrement dit, $\mathbb{N}$ étant l'ensemble des cardinaux finis, alors $n\in \mathbb{N}$ est la somme d'un nombre fini de fois le nombre $1$.

Tandis que si $n$ n'est pas donné, tu ne sais pas écrire $n$ sous la forme d'une somme donnée de termes tous égaux à $1$. Il ne reste plus qu'à récurrer.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
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Et tu es certain que pour démontrer que : si une suite $(u_n)_{n \in \N}$ vérifie : pour tout $n \in \N$, $u_n = u_{n+1}$ alors pour tout $n, m \in \N$, $u_n = u_m$.

On utilise pas une petite récurrence ?
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
@gebrane: le mot "caché" est un choix de GBZM pour qualifier ce qui se manifeste (ou plutôt ne se manifeste pas) dans un extrait de ta rédaction, mais rien n'est caché en maths. C'est plutôt toi qui a "en quelque sorte un peu caché" son usage ou plus précisément qui ne l'a pas "numéroté". L'énoncé:

Si $\forall n: u(n+1) = u(n) + r$ alors $\forall n: u(n) = u(0) + rn$


Tu l'as utilisé sous la forme:

$\forall n: u(n+1) = u(n) + r$ donc $\forall n: u(n) = u(0) + rn$


Et crois-moi si tu arrivais un jour à le prouver "sans axiome fort", tu recevrais le plus importantprix Nobel de tous les temps.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
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@cc Ton explication est vague. Je crois la raison c'est que comment prouver que
$$\sum_{k=1}^n 1=n$$ sans recurrence

Signature:
"Ne vis pas pour que ta présence se remarque mais pour que ton absence se ressente."
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Non, elle est factuelle: tu as bien écrit ce "donc"? Si oui, tu l'as bien admis? Si oui c'était donc bien un axiome de ta preuve.

Sache que les choses sont très simples: en maths tout ce que tu ne justifies pas tu le supposes, même A=>A. Il n'y a rien de vague la dedans. Je crois que tu te compliques la vie en croyant qu'il y a autre chose que des "donc" et des choses suppoées dans un texte de maths.

Le signe $\sum$ ne fait pas partie des maths fondamentales, il vient bien après abréger quelque chose dont auparavant l'axiome de récurrence (et pas qu'un peu!!) a rendu unique. Idem pour tous les signes que tu connais sans exception en dehors de $\forall, \exists, \in , \Rightarrow$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
oups, il semble que je viens de répondre à un post de gebrane qui a disparu, mais en plus en cliquant sur envoyer, j'ai obtenu parfois une version du fil datant de ce matin tôt, même après "actualiser". Pardon si c'est gebrane qui a voulu le faire disparaitre, sinon il s'agit peut-être de problèmes de cache.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
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Je ne suis pas admin pour faire disparaître un message sans laisser de trace

Signature:
"Ne vis pas pour que ta présence se remarque mais pour que ton absence se ressente."
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
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La modération n'efface jamais les messages, le tien s'est perdu dans le réseau sad smiley.

Bruno

L'homme n'est ni ange ni bête, et le malheur veut que qui veut faire l'ange fait la bête.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Ton message est réapparu!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
AD
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
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Bonjour
Je viens de rétablir le message de Gebrane. [www.les-mathematiques.net]
J'avais compris que

lol message effacé par erreur

indiquait que Gébrane avait effacé son message, qui devait donc être supprimé.
Alain
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Et tu es certain que pour démontrer que : si une suite $(u_n)_{n \in \N}$ vérifie : pour tout $n \in \N$, $u_n = u_{n+1}$ alors pour tout $n, m \in \N$, $u_n = u_m$, on n'utilise pas une petite récurrence ?

Pour démontrer cela, on serait bien obligé d'utiliser une méthode de récurrence. Mais ce n'est pas de cela qu'il est question ici. Il est seulement nécessaire de disposer de $u_0 =u_{a+1}$ pour un entier $a$ spécifique (celui qui est chargé de prouver que $A$ n'est pas vide). Alors ce $a$ peut s'écrire $1+1+1... $ $a$ fois et l'égalité $u_0=u_{a+1}$ est le résultat d'un nombre fini d'applications de la propriété "invariance par passage au successeur". Les difficultés avec l'infini ne commencent qu'avec des ensembles de taille infinie et, ici, l'ensemble $[[0, a+1]] \subset \N$ est, par définition, un ensemble fini.

Cela dit, l'idée même de redémontrer que $\N$ est bien ordonné en supposant "$N$ et ses propriétés" est intrinsèquement foireuse. En effet, le propre d'une construction proprement faite est d'être certain d'avoir évité les cercles vicieux et les fautes logiques. Pour ce qui est de $\N$, la seule façon de faire est de tout rédiger depuis le début. Cela prend un certain espace... et Peano a montré que ce n'est pas facile !

Cordialement, Pierre.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
avatar
@AD peut-on récupérer le dit message, c’était une fausse manœuvre qui l'a effacé.

[Je t'ai envoyé un MP, et je rétablis ton message. AD]

Signature:
"Ne vis pas pour que ta présence se remarque mais pour que ton absence se ressente."



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
N'étant pas très confortablement installé (heure du déjeuner dans le mcdo), je me dépêche d'ajouter les définitions et autres informations qui seront ajoutées au pdf tout à l'heure si je peux (ce sera un copié-collé)

1/ $diag(E):=\{(x,x)\mid x\in E\}$

2/ Un ensemble strictement ordonné est un couple $(E,R)$ où $R$ est transitive incluse dans $E^2$ et ne rencontre pas $diag(E)$

3/ Un ensemble ordonné est un couple $(E,S)$ tel qu'il existe $R$ vérifiant $(E,R)$ ens str ordonné et $S=R\cup diag(E)$

4/ $(E,\leq)$ est supposé ordonné.

4.1/ <<$a$ majore (resp minore) $X$ >> abrège <<$\forall x\in X: x\leq a$ (resp $a\leq x$)>>
4.2/ <<$s$ est la borne sup de $X$>> abrège <<s majore $X$ et $s$ minore l'ensemble des éléments qui majorent $X$
4.3/ $a$ est maximal dans $X$ abrège $a\in X$ et $\forall x\in X: non(a<x)$
4.4/ $a$ est maximum dans $X$ quand il en est la borne sup et qu'il appartient à $X$

5/ Un ensemble ordonné a une topologie naturelle qui est celle engendrée par les segments ouverts

6/ Soit $E$ un ensemble et $S$ un ensemble de parties de $E$. La topologie engendrée par $S$ est l'ensemble des parties $U$ de $E$ telles que pour tout $x\in U$ il existe une intersection finie $A$ d'éléments de $S$ vérifiant $x\in A\subset U$. Par exemple, la topologie dites usuelle de $\R$ est celle engendrée par les $]a,+\infty[$; $]-\infty, b[$ quand a,b parcourt $\R$.

7/ Soit $f:\R\to \R$, définie sur $\R$. $Derivo(f,a)$ est l'ensemble des nombres $p$ tels que pour tout $e,u>0$, il existe $h\neq 0$ avec $h\in ]-u,u[$ et il existe $q\in ]p-e,p+e[$ vérifiant $f(a+h)=f(a) + qh$. Quand $Derivo(f,a)=\{w\}$ on dit que $w$ est le nombre dérivée de $f$ en $a$, il est noté $f'(a)$ et $x\mapsto f'(x)$ est notée dérivée de $f$ (remarque: trouver la petite erreur de cette définition!!)

8/ Soit $f$ définie sur $\R$ et à valeurs dans $\R$, $a,b$ des nombres réels avec $a<b$ et tels que $\forall x\in [a,b]: f(x)>38$. $\int_a^bf(x)dx$ désigne la borne supérieure de la somme des aires des rectangles qu'on peut obtenir en incluant une famille disjointe de rectangle dans $\{(x,y)\mid x\in [a,b]$ et $y\in [0,f(x)]\}$.

Je continuerai plus tard, j'ai une contrainte matérielle là.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
@pldx: une fois de plus, comme quasiment chaque fois, tu triches en faisant croire que le but ici est de construire IN ou même de le fonder ne serait-ce qu'un peu. Il s'agissait évidemment juste de signaler à quelques ignorants (non péjo, "ignorant l'info X") en passant que ce n'est pas en terminale mais en première que les premiers axiomes de complétude sont affirmés (autant en ce qui concerne la complétude de IR que la petitesse de IN qui ne contient pas de segment initial inductif autre que lui-même)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
"$\N$ qui ne contient pas de segment initial inductif autre que lui-même".

D'après Bourbaki, Théorie des ensembles, III, §2, n°4, "Un ensemble ordonné E est inductif si toute partie totalement ordonnée possède un majorant dans E".

On ne sait plus qui croire !
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
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Salut Pierre,

Merci, Effectivement, j'ai mis un truc un peu plus fort. Mais le seul truc qui m'intéresse c'est l'absence de cercle vicieux : tout le problème c'est le flou sur les admis !

Si j'ai bien compris : Christophe remplace l'axiome de récurrence par l'axiome de suite arithmétique. Ou alors j'ai strictement rien compris !!!

Déjà remplacer dans quoi ? Disons je prend le texte suivant ici

Il y a trois axiomes, si j'ai compris il s'agit de remplacer le $3$ par le $3^\prime = $ "axiome des suites arithmétiques".

Le problème étant que dans l'axiome des suites arithmétiques, il y a des additions et des multiplications et si je suis le texte de D. Perrin, la définition de l'addition utilise le principe de récurrence ... donc ça ne va pas du tout !

Bref : le seul axiome candidat que je trouve : c'est :

Si une suite $(u_n)_{n \in \N}$ vérifie : pour tout $n \in \N$, $u_n = u_{S(n)}$ alors pour tout $n, m \in \N$, $u_n = u_m$.

Perso, j'en suis là grinning smiley
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
@flipflop. Tu as raison. L'axiome que tu envisages revient à dire:
si une suite est constante au sens de $\def\nn{\mathbb{N}}$ $\forall n\in \nn: u_n=u_{succ(n)}$, alors elle est aussi constante au sens (plus fort) de $\forall n\in \nn: u_n=u_{0}$.

Les points sur lesquels je voulais insister dans mon post étaient que

(1) la preuve/pas-preuve de cc était une galéjade dans une discussion à propos d'une utilisation correcte du Langage Mathématique (sic). La toute première des Règles Du Jeu (sic) n'est-elle pas "si vous voulez qu'on prenne le temps de lire votre document, prenez donc le temps de l'écrire correctement" ?
(2) la "preuve" de gebrane0 était incorrecte en tant que preuve. Prouver "toute partie non vide de $\nn$ contient un plus petit élément" sans jamais utiliser le mot "vide" ni même utiliser la notion d'ensemble vide est tout simplement impossible.

Dans ce contexte, faire intervenir la notion de suite arithmétique comme étant un élément de preuve du caractère constant de $n\mapsto u_n$ alors que le cheminement de la preuve se fait dans l'autre sens, est-ce raisonnable, ou bien simplement une occasion d'embrouiller quelque chose qui n'en a pas besoin ?

Cordialement, Pierre.

Edit: qui n'en n'a pas , ah la la !



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pldx1.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
De mon téléphone @fliop: tout théorème de maths est tautologique en ce sens qu'on ne peut pas prouver autre chose que ce qu'on a admis sous une éventuelle forme déguisée. Tout ce qui n'est pas justifiée dans une preuve est AUTOMATIQUEMENT supposé quand bien même ce serait un énoncé prouvé dans un autre article par exemple.

Ne te laisse donc pas prendre aux trolls de pldx qui "reinvente " une éthique qui n'a jamais existé et n'axistera bien sur jamais qui voudrait infliger l'idée qu'on parvient à prouver des choses qu'on n'a mis dans les hypothèses.

Faire des maths c'est découvrir que ceci est un cas particulier déguisé de cela, rien d'autre. Tu avais initialement bien compris où il y a une instance de récurrence supposée.

Ne te fois pas non plus à Perrin qui parle d'autre chose (et précisément de la balade inverse d'ailleurs).

Ce fil ne concerne pas les maths de fond mais des enjeux de nature de textes.Mais si tu tiens à chercher une interprétation de fond je l'ai donnée ce matin pour les éventuels curieux qui ne s'intéresseraient pas au sujet mais voudraient ne pas repartir sans rien: les choses de 1e-terme-L1-L2 habituellement présentées comme des implications sont en FAIT DES EQUIVALENCES. Mais il n'y a rien de plus "de fond" à chercher.

J'ai été dérangé par des gens qui voulaient ma table et ai laissé un brouillon partiel vers midi. Je le corrigerai.

Inductif signifie contenir 0 et stable par suc. C'est un homonyme.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Je ne savais pas que c'était des équivalences, enfin quelques unes oui mais les 11 propriétés équivalentes non, c'est beau, merci à Christophe de le signaler.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Le jour où les gens comprendront qu'il n'y a pas une seule et unique façon d'apprendre les maths et aussi de les faire, on pourra enfin avancer.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
Je ne comprends encore pas cette remarque hehehe : je n'ai vu personne dire [le] contraire (à part les pédagogistes bien sûr mais eux c'est par définition et ils ne parlent pas de maths).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
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@cc
J'arrive à ton théorème-axiome 4.
L’étudiant que je suis, trouve ton théorème faux! sais-tu pourquoi?

edit A vrai dire, je ne sais pas si ton pdf cible un large publique ou un publique restreint averti. il est dangereux de formuler ton théorème ainsi sans définir la topologique et même je me pose une question grave, Quelles sont les topologies, en dehors de la topologie usuelle de $\R$; qui font marcher ta preuve ?

Signature:
"Ne vis pas pour que ta présence se remarque mais pour que ton absence se ressente."



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gebrane0.
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
De mon téléphone n'ayant pas le fichier peux-tu remettre l'énoncé? Et oui je ne parle que de topologie usuelle de IR.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Liste de contenus de base bac+1 analyse NC
il y a trois années
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