Bonjour tout le monde ..... Existe-t-il un théorème ou une méthode pour prouver que nous ne pouvons pas exprimer la primitive d'une fonction avec des fonctions élémentaires ?
Par exemple gamma ou zeta ou sinx / x !?
Merci.
Il existe un théorème connu de Liouville : théorème
Il permet de montrer que la primitive d'une gaussienne n'est pas une fonction élémentaire. Mais il y a plein de fonctions dont on ne sait pas prouver qu'elles ne sont pas élémentaires, ce sont des problèmes difficiles, comme les problèmes qui consistent à savoir si une constante s'exprime algébriquement en fonction d'autres constantes.
Le théorème de Liouville peut se démontrer sans faire jamais appel à la moindre théorie de Galois différentielle. Mieux, on peut même le démontrer avec les outils de prépa.
Mais évidemment la théorie de Galois différentielle permet d'avoir bien d'autres théorèmes.
Avec la définition des fonctions élémentaires (voir sujet ENS Lyon 1995), comment démontrer que $z\mapsto z $ est élémentaire. Autrement dit $\forall z\in \C,\quad z= f(e^z,\ln(1+z))$ avec $f=?$ (je dis bien $\forall z\in \C$).
Tes yeux voient mal alors, moi je lis en tout premier lieu : "de manière informelle". Tu ne peux pas partir d'un truc qui dit "de manière informelle" et demander de "démontrer" ensuite.
Les fractions rationnelles sont dans le premier corps, c'est d'ailleurs dit "informellement" : "les opérations rationnelles". Ensuite on étend ce corps via logarithmes, exponentielles, radicaux, un nombre fini de fois (aussi grand qu'on veut).
Les guillemets déjà devraient nous mettre sur la voie : dans ce texte on lit davantage une idée qu'une définition.
D'ailleurs ça commence par "de manière informelle".
Le jeu le plus amusant doit être de donner une définition formelle.
Cela dit qu'on compose la fonction nulle avec l'exponentielle ou l'inverse...on doit facilement retomber sur des choses simples.
Le jeu le plus amusant doit être de donner une définition formelle.
Pour moi c'est la grande prouesse du sujet (et de Liouville naturellement (:D). Et c'est ce qui en fait un si beau sujet, on introduit une nouvelle théorie et on en démontre un théorème essentiel, qui permet de répondre à une question extrêmement intéressante : la primitive d'une gaussienne est-elle élémentaire ?
Le théorème de Liouville permet de démontrer un résultat plus pratique à appliquer :
Soient $f$ et $g$ deux éléments de $\mathbf C(X)$ (fractions rationnelles à coefficients dans $\mathbf C$) tels que $f\neq 0$ et $g$ est non constante. La primitive de $fe^g$ est élémentaire si et seulement si il existe une fonction $a\in \mathbf C(X)$ telle que $f=a'+ag'$.
Cela permet de démontrer que $z\mapsto \exp(-z^2)$ et $z\mapsto e^z/z$ n'ont pas de primitive élémentaire (exercice marrant à faire). Pour $x\mapsto \sin(x)/x$ c'est un poil plus compliqué mais c'est toujours les mêmes idées de démonstration.
Pour les fonction $\Gamma $ et $\zeta$ on peut montrer qu'elle sont "hypertranscendantes" (cf le théorème de Hölder par exemple), ce qui veut dire qu'elle ne sont solution d'aucune équation différentielle ordinaire à coefficients polynomiaux. Par contre toutes les fonctions élémentaires et leurs primitives successives (qui constituent la classe les fonctions Liouvilliennes) sont solutions de telles équations, on en déduit que $\Gamma$, $\zeta$ et leurs primitives ne sont pas liouvilliennes et donc pas élémentaires.
Sinon il y a cet article où est démontré le théorème de Liouville dans le cadre général des corps différentiels. Les connaissances requises sont niveau L3.
Oui oui je sais, mais là il y a une démonstration complète pour ceux ne voulant pas faire les questions et la démonstration est un poil différente si je ne m'abuse.
Réponses
Il permet de montrer que la primitive d'une gaussienne n'est pas une fonction élémentaire. Mais il y a plein de fonctions dont on ne sait pas prouver qu'elles ne sont pas élémentaires, ce sont des problèmes difficiles, comme les problèmes qui consistent à savoir si une constante s'exprime algébriquement en fonction d'autres constantes.
Il existe d'autres théorèmes.
[Évariste ne prendrait plus de majuscule ?! AD]
Mais évidemment la théorie de Galois différentielle permet d'avoir bien d'autres théorèmes.
http://pomux.free.fr/corriges-1995/pdf/m95lm1ea.pdf
Avec la définition des fonctions élémentaires (voir sujet ENS Lyon 1995), comment démontrer que $z\mapsto z $ est élémentaire. Autrement dit $\forall z\in \C,\quad z= f(e^z,\ln(1+z))$ avec $f=?$ (je dis bien $\forall z\in \C$).
Je pars de ce que mes yeux voient ni plus ni moins
Les fractions rationnelles sont dans le premier corps, c'est d'ailleurs dit "informellement" : "les opérations rationnelles". Ensuite on étend ce corps via logarithmes, exponentielles, radicaux, un nombre fini de fois (aussi grand qu'on veut).
D'ailleurs ça commence par "de manière informelle".
Le jeu le plus amusant doit être de donner une définition formelle.
Cela dit qu'on compose la fonction nulle avec l'exponentielle ou l'inverse...on doit facilement retomber sur des choses simples.
Mais je n'ai peut-être pas compris la question.
Soient $f$ et $g$ deux éléments de $\mathbf C(X)$ (fractions rationnelles à coefficients dans $\mathbf C$) tels que $f\neq 0$ et $g$ est non constante. La primitive de $fe^g$ est élémentaire si et seulement si il existe une fonction $a\in \mathbf C(X)$ telle que $f=a'+ag'$.
Cela permet de démontrer que $z\mapsto \exp(-z^2)$ et $z\mapsto e^z/z$ n'ont pas de primitive élémentaire (exercice marrant à faire). Pour $x\mapsto \sin(x)/x$ c'est un poil plus compliqué mais c'est toujours les mêmes idées de démonstration.
Pour les fonction $\Gamma $ et $\zeta$ on peut montrer qu'elle sont "hypertranscendantes" (cf le théorème de Hölder par exemple), ce qui veut dire qu'elle ne sont solution d'aucune équation différentielle ordinaire à coefficients polynomiaux. Par contre toutes les fonctions élémentaires et leurs primitives successives (qui constituent la classe les fonctions Liouvilliennes) sont solutions de telles équations, on en déduit que $\Gamma$, $\zeta$ et leurs primitives ne sont pas liouvilliennes et donc pas élémentaires.
Je vais mettre ça dans le dossier "proscrastination"....qui doit tailler 10 To ::o
Ni repris ni échangé :-D