Fonctions holomorphes de type exponentielle

Cyrano · August 2017

Bonjour,

Soit $K$ un convexe compact de $\C$ et $h_K$ sa fonction d'appui. (Rappel : $h_K(z) =\sup_{w\in K} \Re(zw)$)

On définit les fonctions holomorphes de type exponentielle sur $K$ par $$\text{Exp}(K) := \{f\in \mathcal{O}(\C) : \forall \epsilon >0, \exists M_{\epsilon}>0 \,\,\text{tq}\,\, |f(z)| \leq M_{\epsilon}\exp(h_K(z)+\epsilon |z|)\}.$$ Je ne suis vraiment pas habitué à manipuler ce genre d'objet mais je remarque que si on note $K_{\epsilon} = K +D(0,\epsilon)$ l'épaissi de $K$ alors $$h_K(z)+\epsilon |z| =h_K(z)+h_{D(0,\epsilon)}(z) =h_{K_{\epsilon}}(z).$$ Ainsi ma question est la suivante, en se servant de l'idée intuitive que les $K_{\epsilon}$ tendent vers $K$, y a-t-il moyen de donner une définition raisonnables de certains ensembles $\text{Exp}_{\epsilon} (K)$ telle que $$\text{Exp}(K) = \varprojlim_{\epsilon \to 0} \text{Exp}_{\epsilon} (K).$$ Cette question peut sembler bizarre mais ça m'arrangerait vraiment énormément de pouvoir exprimer $\text{Exp}(K)$ comme une limite projective raisonnable sur le $\epsilon.$ :-D

Merci d'avance pour toute aide.

Héhéhé · August 2017

Honnêtement je pense que ce genre de questions a plus de chance de trouver des réponses sur mathoverflow.

Cyrano · August 2017

Hum oui, mais la réponse est peut-être idiote en fait.
Si je fixe un $\epsilon$ et que je pose $$\text{Exp}_{\epsilon}(K) = \{f\in \mathcal{O}(\C) : \exists M_{\epsilon}>0 \,\,\text{tq}\,\, |f(z)| \leq M_{\epsilon}\exp(h_K(z)+\epsilon |z|)\}$$ alors on a trivialement $$\text{Exp}(K) = \bigcap_{\epsilon>0} \text{Exp}_{\epsilon}(K).$$ De plus, si $\alpha < \beta$, on a $\text{Exp}_{\alpha}(K) \subset \text{Exp}_{\beta}(K)$. Du coup, on peut en déduire que $$\text{Exp}(K) = \varprojlim_{\epsilon\to 0} \text{Exp}_{\epsilon}(K).$$ Right ?