Convergence faible
Bonjour.
Soit $T$ un operateur auto-adjiont agissant sur $L^2(\Bbb{R})$ tel que il existe une $u_n$ suite de $L^2(\Bbb{R})$ vérifiant:
1]-$||u_n||=1$.
2]$ u_n$ converge faiblement vers 0.
3-]$||T(u_n)||$ converge vers un réel non nul $b$.
4-]$T(u_n)$ converge faiblement vers 0.
Est ce que ceci est possible.
Merci infiniment.
Soit $T$ un operateur auto-adjiont agissant sur $L^2(\Bbb{R})$ tel que il existe une $u_n$ suite de $L^2(\Bbb{R})$ vérifiant:
1]-$||u_n||=1$.
2]$ u_n$ converge faiblement vers 0.
3-]$||T(u_n)||$ converge vers un réel non nul $b$.
4-]$T(u_n)$ converge faiblement vers 0.
Est ce que ceci est possible.
Merci infiniment.
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Réponses
Il a ajouté en cours de route la convergence faible de $u_n$ vers 0 et j'ai un souvenir vague sur le comment ( Bessel ? ) pour demontrer qu'une base hilbertienne converge faiblement vers 0
Maintenant la proposition " $||u_n||=1$ et $u_n$ converge 0 en $L^2(\Bbb{R})$" est fausse.
Qu'en est il pour " $||u_n||=1$ et $u_n$ converge faiblement vers 0 ?
Je dis non, car dans un bon Hilbert on a $||x||^2=\sum_n <x,e_n>^2$ où $(e_n)_n$ est une base orthonormé, du coup il suffit de prendre $u_n=e_n$.
Je ne comprends pas cet argument les termes d'une suite de carrés sommable tendent vers 0 car la suite $v_n$ egale à l'indicatrice de l'intervalle ${[n,n+\dfrac{1}{2^n}]}$ est de carré intégrable et n'admet pas de limite en l'infini (elle oscille ! des sauts entre 0 et 1)
Merci