Convergence faible

supspé · August 2017

Bonjour.

Soit $T$ un operateur auto-adjiont agissant sur $L^2(\Bbb{R})$ tel que il existe une $u_n$ suite de $L^2(\Bbb{R})$ vérifiant:

1]-$||u_n||=1$.
2]$ u_n$ converge faiblement vers 0.

3-]$||T(u_n)||$ converge vers un réel non nul $b$.

4-]$T(u_n)$ converge faiblement vers 0.

Est ce que ceci est possible.

Merci infiniment.

gebrane · August 2017

Dans 2) tu veux dire $||T(u_n)||_{L^2}$ converge vers un réel non nul b ?

supspé · August 2017

oui

supspé · August 2017

Le 1+ une suite converge vers 0 en $L^2(\Bbb{R})$ est impossible, ceci est il vrai si la convergence est faible.

remarque · August 2017

Bien sûr que c'est possible. Prends $T$ l'identité, $u_n$ une base hilbertienne.

girdav · August 2017

Si on prend $T$ égale l'identité et $u_n$ l'indicatrice de l'intervalle $[n,n+1]$ normalisée par $\sqrt 2$, tout est vérifié.

gebrane · August 2017

@remarque
Il a ajouté en cours de route la convergence faible de $u_n$ vers 0 et j'ai un souvenir vague sur le comment ( Bessel ? ) pour demontrer qu'une base hilbertienne converge faiblement vers 0

supspé · August 2017

Merci à tous,

Maintenant la proposition " $||u_n||=1$ et $u_n$ converge 0 en $L^2(\Bbb{R})$" est fausse.

Qu'en est il pour " $||u_n||=1$ et $u_n$ converge faiblement vers 0 ?

Je dis non, car dans un bon Hilbert on a $||x||^2=\sum_n <x,e_n>^2$ où $(e_n)_n$ est une base orthonormé, du coup il suffit de prendre $u_n=e_n$.

remarque · August 2017

Une base hilbertienne forme une suite qui converge faiblement vers $0$ parce que les termes d'une suite de carrés sommable tendent vers $0$.

supspé · August 2017

Merci bien @remarque.

gebrane · August 2017

@remarque
Je ne comprends pas cet argument les termes d'une suite de carrés sommable tendent vers 0 car la suite $v_n$ egale à l'indicatrice de l'intervalle ${[n,n+\dfrac{1}{2^n}]}$ est de carré intégrable et n'admet pas de limite en l'infini (elle oscille ! des sauts entre 0 et 1)