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Convergence faible

Envoyé par supspé 
Convergence faible
il y a deux années
Bonjour.

Soit $T$ un operateur auto-adjiont agissant sur $L^2(\Bbb{R})$ tel que il existe une $u_n$ suite de $L^2(\Bbb{R})$ vérifiant:

1]-$||u_n||=1$.
2]$ u_n$ converge faiblement vers 0.

3-]$||T(u_n)||$ converge vers un réel non nul $b$.

4-]$T(u_n)$ converge faiblement vers 0.

Est ce que ceci est possible.

Merci infiniment.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par supspé.
Re: Convergence faible
il y a deux années
avatar
Dans 2) tu veux dire $||T(u_n)||_{L^2}$ converge vers un réel non nul b ?

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Convergence faible
il y a deux années
Re: Convergence faible
il y a deux années
Le 1+ une suite converge vers 0 en $L^2(\Bbb{R})$ est impossible, ceci est il vrai si la convergence est faible.
Re: Convergence faible
il y a deux années
avatar
Bien sûr que c'est possible. Prends $T$ l'identité, $u_n$ une base hilbertienne.
Re: Convergence faible
il y a deux années
Si on prend $T$ égale l'identité et $u_n$ l'indicatrice de l'intervalle $[n,n+1]$ normalisée par $\sqrt 2$, tout est vérifié.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par girdav.
Re: Convergence faible
il y a deux années
avatar
@remarque
Il a ajouté en cours de route la convergence faible de $u_n$ vers 0 et j'ai un souvenir vague sur le comment ( Bessel ? ) pour demontrer qu'une base hilbertienne converge faiblement vers 0

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Convergence faible
il y a deux années
Merci à tous,

Maintenant la proposition " $||u_n||=1$ et $u_n$ converge 0 en $L^2(\Bbb{R})$" est fausse.

Qu'en est il pour " $||u_n||=1$ et $u_n$ converge faiblement vers 0 ?

Je dis non, car dans un bon Hilbert on a $||x||^2=\sum_n <x,e_n>^2$ où $(e_n)_n$ est une base orthonormé, du coup il suffit de prendre $u_n=e_n$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Convergence faible
il y a deux années
avatar
Une base hilbertienne forme une suite qui converge faiblement vers $0$ parce que les termes d'une suite de carrés sommable tendent vers $0$.
Re: Convergence faible
il y a deux années
Merci bien @remarque.
Re: Convergence faible
il y a deux années
avatar
@remarque
Je ne comprends pas cet argument les termes d'une suite de carrés sommable tendent vers 0 car la suite $v_n$ egale à l'indicatrice de l'intervalle ${[n,n+\dfrac{1}{2^n}]}$ est de carré intégrable et n'admet pas de limite en l'infini (elle oscille ! des sauts entre 0 et 1)

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Convergence faible
il y a deux années
On a $||x||^2=\sum_n <x,e_n>^2$ donc la série de terme générale $ <x,e_n>$ tend vers 0 pour tout x, d'ou le résultat.
Re: Convergence faible
il y a deux années
avatar
@gebrane0 : tu confonds suite de fonctions et suite des produits scalaires de ces fonctions par un vecteur fixe.
Re: Convergence faible
il y a deux années
avatar
Effectivement
Merci

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
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