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delta(f(x))

plutonpluton
dans Analyse
Bonjour,

Dans Gel'fand/Shilov "Generalized Functions" (Vol 1, chapitre II, section, 2.5), il est dit que:
$$\int\delta(f(x))\psi(x)\mathrm{d}x=\frac{\psi(x_0)}{f'(x_0)}$$
Pour cela, on part de
$$\int\delta(t)\phi(t)\mathrm{d}t=\phi(0)$$ puis avec le changement $t=f(x)$, on obtient le résultat escompté. Bon, admettons. Mais que se passe-t-il si on part directement de la définition au sens des distributions de $\delta$, à savoir:
$$ <\delta_{x_0},\phi>=\phi(x_0)$$
Peut-on retrouver le résultat ci-dessus ? J'ai l'impression que non...

Merci

Réponses

  • PoirotPoirot
    Il y a quand même une incohérence, ton changement de variable t'amène à $$\int \delta(f(x)) \varphi(f(x)) f'(x) \,dx.$$
  • plutonpluton
    oui, et donc en notant $\psi(x)=\phi(f(x))f'(x)$, et $x_0$ tel que $f(x_0)=0$, on obtient:
    $$\phi(0)=\psi(x_0)/f'(x_0)$$ d'où l'énoncé.
  • PoirotPoirot
    Oui en effet, j'avais pris le truc dans le mauvais sens.
  • YvesMYvesM
    Bonjour,

    Si tu tapes dans Google " golse distributions analyse de fourier et équations aux dérivées partielles " tu obtiens un PDF téléchargeable. La démonstration se trouve page 136-139.
  • plutonpluton
    en effet, merci, c'est intéressant même si c'est ardu pour moi. Cependant, je comprends que les développements sont faits pour des distributions non-singulières et étendus aux distributions singulières, par définition (un peu comme la dérivée des distributions d'ailleurs).
  • reunsreuns
    Soit $U$ l'ensemble des fonctions $\phi \in C^\infty_c$ telles que $\int_{-\infty}^\infty \phi(x)dx = 1$.

    Si $T \in D'(\mathbb{R})$ est une distribution, pour $\phi \in U$ on regarde $$T_n = T \ast \phi_n, \qquad \phi_n (x)= n\phi(nx)$$ alors $T_n \in C^\infty$ et $$\forall \varphi \in C^\infty_c, \qquad \lim_{n \to \infty} \langle T_n,\varphi \rangle = \lim_{n \to \infty} \langle T ,\varphi \ast \phi_n \rangle = \langle T, \varphi \rangle$$ donc $T_n \to T$ dans $D'(\mathbb{R})$.

    Soit $f$ une fonction. Supposons que pour tout $\phi \in U$ : $\lim_{n \to \infty} (T \ast \phi_n) \circ f$ converge dans $D'(\mathbb{R})$. Alors on pose $$T \circ f = \lim_{n \to \infty} (T \ast \phi_n) \circ f$$ On montre que la limite ne dépend pas de $\phi$ et que par construction, le tout est compatible avec le changement de variable dans une intégrale avec $T(x)dx$.
  • PoirotPoirot
    Et si $\phi(0) =0$ ? Et puis on n'a pas convergence dans $\mathcal D'(\mathbb R)$ si on n'a pas convergence pour tout élément de $\mathcal D(\mathbb R)$. Tu utilises un raisonnement par densité ?
  • reunsreuns
    @Poirot : Désolé j'ai corrigé. Ça te va maintenant ? Pour le cas $T = \delta$ évidemment on peut remplacer $T \ast \phi_n$ par $\frac{n}{2} 1_{|x| < 1/n}$. C'était juste pour montrer que $T \circ f$ a un sens pour toute distribution $T$ et fonction $f$ acceptable (dire $f \in C^\infty$ peut faciliter les choses)
  • plutonpluton
    Merci alors. J'ai du mal à voir la difficulté induite par la phrase "On montre que la limite ne dépend pas de $\phi$ et que par construction, le tout est compatible avec le changement de variable dans une intégrale avec $T(x)dx$."
  • reunsreuns
    Comment ça ? Le but est juste d'utiliser le changement de variable dans les intégrales "distribution-fonction test".

    (Comme toujours) commence par le cas le plus simple : $T$ à support compact (donc $\int_{-\infty}^\infty T(x) \varphi(x)dx = 0$ si le support de $\varphi$ est en dehors de $[-M,M]$) et donc $T$ est d'ordre fini $k$ ($T = f^{(k)}$ pour une certaine fonction continue $f$)
    alors $T \ast \phi_n \ast \varphi \to T \ast \varphi$ dans $C^\infty_c$ et tu peux facilement changer de variable.
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