Une fonction Riemann intégrable.
Salut à tous.
J'aimerais montrer que $1_{K}$ avec $K = \{1,\frac{1}{2},...,\frac{1}{2^{n}},...\}$ est Riemann intégrable.
Mais je suis embêté, je n'arrive pas à trouver de fonction en escalier majorant et minorant autre que 0 et 1. Je pense qu'il faudrait que je me place proche de 0 avec une bonne subdivision mais c'est pas clair dans ma tête.
J'aimerais montrer que $1_{K}$ avec $K = \{1,\frac{1}{2},...,\frac{1}{2^{n}},...\}$ est Riemann intégrable.
Mais je suis embêté, je n'arrive pas à trouver de fonction en escalier majorant et minorant autre que 0 et 1. Je pense qu'il faudrait que je me place proche de 0 avec une bonne subdivision mais c'est pas clair dans ma tête.
Réponses
-
Je pense avoir eu une idée : L'ensemble des points de discontinuité est $K$ et $K$ est de mesure nulle
PS : (je connais que la mesure nulle je n'ai fait qu'un chapitre d'intégration celui sur Riemann). -
Mais j'ai un autre exemple ou je ne pense pas que ça va marcher.
-
Bonjour.
Utiliser des subdivisions de pas $\frac 1 {2^n}$ à partir de 0 (tu intègres sur [0,1] j'imagine) ne convient-il pas ? Avec toujours x-->f(x)=0 comme minorante, il me semble que l'intégrale de la majorante (1 sur les intervalles nécessaires) tend vers 0 (à l'échelle $\frac 1 {2^n}$ pour n grand, la majorante est essentiellement nulle).
Cordialement. -
L'argument "mesure nulle" ne convient pas car, par exemple, $1_{\mathbb Q}$ n'est pas Riemann intégrable.
À moins qu'il ne s'agisse pas de la mesure usuelle. -
Ha oui d'accord, j'ai dû interpréter une conclusion hâtive, implicite.
Je pense que cette fonction n'est pas Riemann intégrable sur I= [0;1].
En tout cas elle n'est pas continue par morceaux sur I.
Mais elle est intégrable sur J = ]0,1] car continue par morceaux sur J (c'est à dire pour tout [a;1] inclus dans J).
Non ?
@Amathoué
Bigre, on a un bon traducteur ;-)
Mais @gebrane0 a sûrement raison, j'ai dû quand même avoir un raisonnement scabreux en écrivant cela. -
Dom écrivait :
> Par contre, ce que je raconte sur "continue par morceaux" est vrai.
Puis-je savoir ta définition d'une fonction continue par morceaux ? Car selon la mienne cette indicatrice ne l'est pas.Le 😄 Farceur -
.
-
@gebrane0 (rapidement, le café est prêt)
Continue par morceaux sur un segment [a,b] commence par "il existe N entier naturel...".
Ici, avec a = 0 on a une infinité de points de discontinuité.
Continue par morceaux sur ]a,b] commence par "continue par morceaux sur tout [c,d] inclus dans ]a,b]...".
Ici, on aura bien un nombre fini de discontinuités pour tout $\epsilon$>0, sur [$\epsilon$,1].
Edit : un exemple avec un seul point de discontinuité.
La lettre $\epsilon$ désign un réel strictement positif et inférieur à 1.
Sur J=]0,1], $g$ définie pour tout $x$ de J par $g : x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt x}$ est continue.
En regardant la définition, elle est continue par morceaux car continue par morceaux sur les $[\epsilon,1]$.
Sur I=[0,1], $f$ définie pour tout $x$ non nul de I, par $f : x\mapsto g(x)$ et $g(0)=0$ n'est pas continue par morceaux.
Les deux sont cependant intégrables sur leurs domaines de définition.
Attention, elles ne sont pas bornées, donc on se fait engueuler si on dit Riemann intégrable.
Néanmoins, le sens du mot "intégrable" que j'utilise, est bien "au sens de Riemann" en prenant la limite des intégrales (de Riemann) sur [$\epsilon$,1], quand $\epsilon$ tend vers 0.
On avait eu une discussion là-dessus (jadis, il y a 2 ans peut-être).
Mais comme on ne parle pas de Lebesgue, c'est ambiguë de dire simplement "intégrable", je trouve. -
Ok DomLe 😄 Farceur
-
Merci gerard0 pour votre conseil, je vais l'appliquer car j'aimerais bien tenter une autre preuve de la Riemann Intégrabilité.
Deuxièmement, voici une fonction sur laquelle un ami est moi ne sommes pas d'accord :
[Voir http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1525968,1526922#msg-1526922 AD]
Mon ami dit que cette fonction est presque en escalier, elle possède une certaine croissance. Donc il a montré qu'elle était Riemann intégrable par des applications en escalier de Darboux et la subdivision formée de la suite de rationnelle.
Moi je dis qu'en tout point irrationnel elle vaut 1 donc j'ai montré d'abord le (2) qui permet de déduire le (1) car l'ensemble de ces points de discontinuité est dénombrable. -
Pourquoi ne pas commencer à mettre en propre la preuve de gerard0?Le 😄 Farceur
-
Je viens de finir ma journée de travailler, je me détend avant de recommencer 9h-19h demain.
-
Mais l'envie de faire des maths est présente surtout parce que mon collègue m'a fait comprendre que peut être ma preuve est fausse ^^.
-
.
-
J'ai montré qu'elle n'était pas continue en un point rationnel.
Maintenant faut que je modifie ma preuve sur les irrationnels. (Je pensais qu'elle vaut 1 car si x est irrationnel alors $Q(x)$ est équipotent à $\mathbb{N}^{\times}$ donc de là j'ai tiré de mauvaises conclusion par bijection.)
Quand à mon ami, qu'est-ce qu'il est fort... Encore une fois il a résolu mais pas moi. Je vais progresser
.
Je pense qu'il a utiliser la subdivision $0 ,q_{1} ,..., q_{n} $.
Il m'a dit qu'elle est croissante.
Il m'a dit que je pouvais la voir comme une "fonction en escalier avec un nombre dénombrable de saut" (NY VOYAIT PAS DES MATHS merci). -
Je pense aussi qu'il a utilisé une fonction en escalier $0, a_{1}, a_{1} + a_{2}, \ldots , \sum_{k=1}^{n} a_{k}, ...$ et qu'il a utilisé le fait que le reste tend vers $0$ pour gérer l'écart.
(Je me souviens de notre discutions) -
Vous avez de bons yeux, moi je n'ai pas réussi à lire l'énoncé dans ce message. Drôle d'idée de mettre une image sur un hébergeur externe alors qu'on peut la mettre directement sur le forum !
Cordialement. -
Image
-
Pourquoi ne pas inciter ton ami à révéler sa preuve ici ? l'inscription au site est gratuite .Le 😄 Farceur
-
Je vais la trouver moi même et vous la faire.
-
Au passage, elle est croissante sur $[0;1]$ et bornée donc Riemann intégrable en fait.
-
Exact et pour le b)? il dit quoi ton ami!Le 😄 Farceur
-
Je sais plus, il m'a juste dit une phrase.
Bon finalement je ne vais pas appliquer la méthode de gebrane0 pour la 1).
Je ferais surement celle de mon ami si je bloque sur la b).
Pour l'instant sur le b) j'ai quelques idées techniques, pour montrer la discontinuité sur $\mathbb{Q}$, je nie la définition de la continuité et je trouve un point pour avoir une somme télescopique dans la différence des images. Pour cela faut que je choisisse bien mon point afin d'avoir un ensemble fini de rationnels.
C'est en cours de réflexion.
Pour la discontinuité, ça me semble un peu plus dur. Je pense que je m'imagine mal la fonction. Mais je pense que mon ami aussi il me l'a dessiné comme un escalier sur la bissectrice alors que $f(0.5)$ doit être très proche de 1 pour moi. -
Si $r$ est un rationnel de $[0, 1[$, peux-tu comparer $Q(r)$ et $Q(r+\varepsilon)$ avec $\varepsilon > 0$ (tel que $r+ \varepsilon < 1$) ?
-
Déjà $r\in Q(r+\epsilon)$ contrairement à $Q(r)$. Après je me demande s'il y a une infinité de rationnels dans $]r;r+\epsilon[$. Je ne pense pas mais je n'ai pas d'idée simple pour le montrer.
-
En tronquant au millième, au dix-millième, au cent-millième, etc., tu obtiens autant de rationnel que tu veux, en choisissant un irrationnel.
-
Je pense avoir trouvé pour montrer que $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{Q}$. Je vous poste une photo bientôt (je n'arrive pas à la fac).
-
EDIT
-
Alors ?
-
Je cherche à présent la continuité sur $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$
-
Euh bah ce que tu écris ne veut pas dire grand-chose, tu mets un $\exists \varepsilon$ puis te ne te sers même pas deton $\varepsilon$. Et j'imagine que ton $r$ est rationnel, il faudrait le préciser. Je ne comprends pas ce que tu dis sur ton $y$, je lis $y=M$... Enfin bref, il faudrait tout recommencer.
-
Bien oui il existe $\epsilon$ c'est une terme de somme positif.
Et $y = r$ qui est effectivement rationnel pour faire une somme télescopique. -
Désolé mais je ne comprends rien à ton dernier message.
-
* RÉCAPITULATION
Allez, je vais aller jusqu'au bout ! Je compte sur vous.
Alors je récapitule tout au moins pas besoin de lire tout le bla bla.
Si vous venez d'arriver avec ce post vous avez tout pour m'aider si vous le souhaitez.
J'essaye de résoudre cet exercice.
1) $f$ est croissante et bornée donc Riemann intégrable. En effet si $x<y$ alors $Q(x)\subset Q(y)$.
2.1) $f$ est discontinue sur $\mathbb{Q}$ : Soit $y$ dans $\mathbb{Q}\cap [0;1]$ et disons que $y = q_{p}$.
Alors : $\forall \eta \in ]0;+\infty[,\ \exists x \in \mathbb{Q}\cap [0;1],\ x \in ]y;y+\eta[$
Ainsi $Q(y)$ est inclus dans $Q(x)$ mais distinct puisque $p$ est dans $Q(x)$ mais pas dans $Q(y)$. Si bien que $|f(x)-f(y)| = | \sum_{k \in S} a_{k}|$ avec $S$ le complémentaire de $Q(y)$ dans $Q(x)$.
Ainsi : $\exists \epsilon = a_{p} \in ]0;+\infty[,\ \forall \eta \in ]0;+\infty[,\ \exists x \in [0;1],\ | x-y | \le \eta ~\text{ et }~ |f(x)-f(y)| > \epsilon$ -
Ton $a_p$ c'est $y$ ? Tu l'as noté $q_p$ avant... Et à un moment tu l'appelles $p$. Bon il y a des petits bugs avec ça, mais sinon ça me semble correct.
-
$a_{p} \ne p$ et n'a aucune raison d'être $y$ qui lui est $q_{p}$.
-
Oublie ce que j'ai dit sur $p$. Mais pourquoi tu as des $a_i$ et des $q_i$ ? Pourquoi n'es-tu pas resté avec les $q_k$ qui sont donnés ?
-
Je ne comprend pas ta question.
-
Pourquoi écris-tu $$|f(x)-f(y)| = | \sum_{k \in S} a_{k}|$$ alors que c'est $$|f(x)-f(y)| = | \sum_{k \in S} q_{k}|$$ ? Tout d'un coup tu as des $a_k$ au lieu de $q_k$. Ensuite ton $\varepsilon$ sera $q_p$ et non pas $a_p$, et là je serai d'accord avec ce que tu as écrit.
-
Vous avez mal lu l 'exercice.
-
Oui en effet, oublie ce que j'ai dit. Donc c'est bon pour la non continuité en les rationnels.
-
Je cherche des idées pour la continuité sur les irrationnels...
Je n'ai aucune piste... -
Je pense qu'on peut utiliser le fait que si $y$ est irrationnel alors $$\bigcap_{x > y} Q(x) = \emptyset.$$
-
.
-
Salut remark.
Merci pour la mise en contexte, mais c'est un peu obscur pour moi.
Cet exercice fait suite au chapitre : Intégration Riemannienne sur un segment.
Je ne vois pas si loin...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 40
+28 Invités