Convergence d'une intégrale (niveau PC)
Bonjour
On souhaite étudier la convergence de l'intégrale $\quad\displaystyle\int_0^{+\infty} t . \cos(t^3+t+1) dt$.
La fonction est continue sur $[0 ; +\infty [$ donc l'intégrale est généralisée seulement en $+\infty$.
Ensuite j'ai tenté IPP mais cela ne donne rien. Une idée ? Merci d'avance !
On souhaite étudier la convergence de l'intégrale $\quad\displaystyle\int_0^{+\infty} t . \cos(t^3+t+1) dt$.
La fonction est continue sur $[0 ; +\infty [$ donc l'intégrale est généralisée seulement en $+\infty$.
Ensuite j'ai tenté IPP mais cela ne donne rien. Une idée ? Merci d'avance !
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Réponses
As-tu regardé comment se comporte la fonction à intégrer ?
Cordialement.
J'ai même envie de dire tend vers l'infini "en valeur absolue" et en "changeant souvent de signe".
Finalement, elle ne tend pas vers 0 en en l'infini, donc l'intégrale diverge, c'est bien ça ?
Par contre, on peut s'interroger sur l'intégrale de chacune des bosses.
Disons que l'IPP me donne :
$I = [t^2 /2 . cos(t^3+t+1)]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} (3t^4+t^2)/2 . sin(t^3+t+1) dt$ et je ne suis pas plus avancé ... si ?
Tu "ippippes" comme ca c'est mieux
$\int_0^{+\infty} t . cos(t^3+t+1) dt=\int_0^{+\infty}\frac t {3t^2+1}. (3t^2+1)cos(t^3+t+1) dt=[\frac t {3t^2+1}\sin(t^3+t+1)]_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}....$
Pourrais-tu détailler ton "donc"?
J'avoue que je ne vois pas trop comment répondre à cette question ?
"Pourrais-tu détailler ton "donc"?"
En faisant l'IPP on trouve un "crochet" égal à zéro et une intégrale sur [0 ; +oo[ où la fonction à intégrer est continue sur [0 ; +oo[ majorée en valeur absolue par une fonction dont un équivalent en +oo est une constante fois $1/t^2$. Donc en utilisant Riemann e les théorèmes de comparaison, l'intégrale converge.
Si tu as bien compris, donne moi la nature de $\int_0^{+\infty} t\sin(t^3)dt$
Avec la même démarche, cette intégrale est également convergente. N'est-ce pas ?
il ne s'agit pas des intégrales de Fresnel mais plutôt de la fonction d'Airy définie sous forme d'intégrale génératrice
dont l'intégrale numérique ici est une image à un changement de variable près
l'intégrale proposée I converge et la méthode très pertinente de notre ami Gebrane permet de le montrer facilement
l'intégration par parties donne en effet :
$I = [\frac{-t}{3t^2 +1}sin(t^3 + t + 1)]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty}\frac{1-3t^2}{(1+3t^2)^2}sin(t^3 + t +1)dt$
l'expression entre crochets converge vers 0 sur les bornes de l'intervalle et l'intégrale dégagée ensuite converge aussi
on peut encadrer facilement le résultat de l'intégration par - M et + M avec $M = \int_0^{+\infty}\frac{1-3t^2}{(1+3t^2)^2}dt$
cette dernière intégrale convergente se calcule aisément avec le changement de variable $shu = t\sqrt{3}$ il vient :
$M = \int_0^{+\infty}\frac{1-sh^2u}{ch^3u}du = \frac{3\pi}{4\sqrt{3}} - \frac{\pi}{2\sqrt{3}} = \frac{\pi}{4\sqrt{3}}$
en utilisant les applications intégrales de la fonction Gamma donc :
$$- \frac{\pi}{4\sqrt{3}} < I < + \frac{\pi}{4\sqrt{3}}$$
cordialement
@Gebrane0
je n'étais pas bloqué mais juste un peu occupé !
Voici le scan d'une rédaction (avec un petite coquille sur un intervalle ouvert en 0 et non fermé en 0).
La rédaction est-elle bonne ?
Soient $\quad\displaystyle I = \int_0^{\pi/2} \ln\big(\cos(x)\big) dx\quad\text{et}\quad J = \int_0^{\pi/2} \ln\big(\sin(x)\big) dx$.
1. Montrer que $I$ et $J$ convergent.
2. Montrer que $I=J$
3. Calculer $I+J$. En déduire $I$.
1. facile avec les changements de variable $u=\cos(x)$ et $v=\sin(x)$, les équivalents et théorèmes de comparaison (pour fonctions de signe constant).
2. OK avec le changement de variable $t=\frac \pi 2-x$
3. J'ai pensé à $\ln\big(\cos(x)\big) + \ln\big(\sin(x)\big) = \ln\big(\sin(x)\cos(x)\big) = \ln\big(\frac 1 2\sin(2x)\big) = \ln\big(\sin(2x)\big) - \ln(2)$ mais ne vois pas comment poursuivre. Une idée ? Merci d'avance !
On part de la factorisation suivante pour $n$ appartenant à $\mathbb{N}^{*}$ $$X^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}(X-e^{2i\pi\frac{k}{n}}).$$ Ensuite, il vient $$\frac{X^{n}-1}{X-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(X-e^{2i\pi\frac{k}{n}}).
$$ En faisant tendre $X$ vers $1$ puis par factorisation par arc moitié, il vient $$\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin(\pi\frac{k}{n}).
$$ En prenant le logarithme cette expression, puis en divisant par $n$ et en reconnaissant une somme de Riemann généralisée associée à $x \longmapsto \ln(\sin(x))$ sur $]0,\pi[$, il vient en passant à la limite que $$\int_{0}^{\pi} \ln(\sin(t))dt=-\ln(2).$$
Et en effectuant le chgt de variable X=2x, je trouve finalement $I = J = -\frac{\pi}{2} ln(2)$,
ce qui n'a pas l'air d'être cohérent avec le résultat de BabbyJoe , sachant que $\int_0^{\pi}ln(sin(x))dx = 2I$.
Que vaut I finalement ?
$\int_{0}^{\pi} \ln(\sin(t))dt=-\pi \ln(2)$