Convergence d'une intégrale (niveau PC)

Bonsoir.

As-tu regardé comment se comporte la fonction à intégrer ?

Cordialement.

Non, ça ne suffit pas à faire diverger l'intégrale, il y a des exemples assez simples (bosses de plus en plus hautes, mais aussi étroites ce qui fait que leur aire tend vers 0 - tu peux en construire un) d'intégrales convergentes.

Par contre, on peut s'interroger sur l'intégrale de chacune des bosses.

@Fabrice2,

Pourrais-tu détailler ton "donc"?

@Fabrice2
Si tu as bien compris, donne moi la nature de $\int_0^{+\infty} t\sin(t^3)dt$

Il faut être astucieux, puis-je voir ton calcul?

_bonjour

il ne s'agit pas des intégrales de Fresnel mais plutôt de la fonction d'Airy définie sous forme d'intégrale génératrice
dont l'intégrale numérique ici est une image à un changement de variable près

l'intégrale proposée I converge et la méthode très pertinente de notre ami Gebrane permet de le montrer facilement

l'intégration par parties donne en effet :

$I = [\frac{-t}{3t^2 +1}sin(t^3 + t + 1)]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty}\frac{1-3t^2}{(1+3t^2)^2}sin(t^3 + t +1)dt$

l'expression entre crochets converge vers 0 sur les bornes de l'intervalle et l'intégrale dégagée ensuite converge aussi

on peut encadrer facilement le résultat de l'intégration par - M et + M avec $M = \int_0^{+\infty}\frac{1-3t^2}{(1+3t^2)^2}dt$

cette dernière intégrale convergente se calcule aisément avec le changement de variable $shu = t\sqrt{3}$ il vient :

$M = \int_0^{+\infty}\frac{1-sh^2u}{ch^3u}du = \frac{3\pi}{4\sqrt{3}} - \frac{\pi}{2\sqrt{3}} = \frac{\pi}{4\sqrt{3}}$

en utilisant les applications intégrales de la fonction Gamma donc :

$$- \frac{\pi}{4\sqrt{3}} < I < + \frac{\pi}{4\sqrt{3}}$$

cordialement

J'imagine que les bornes sont limitées entre $0$ et $\frac{\pi}{2}.$ Mais mis à part ce détail, la plus belle preuve que je connaisse de ces calculs d'intégrales est la suivante....
On part de la factorisation suivante pour $n$ appartenant à $\mathbb{N}^{*}$ $$X^{n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}(X-e^{2i\pi\frac{k}{n}}).$$ Ensuite, il vient $$\frac{X^{n}-1}{X-1}=\prod_{k=1}^{n-1}(X-e^{2i\pi\frac{k}{n}}).
$$ En faisant tendre $X$ vers $1$ puis par factorisation par arc moitié, il vient $$\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin(\pi\frac{k}{n}).
$$ En prenant le logarithme cette expression, puis en divisant par $n$ et en reconnaissant une somme de Riemann généralisée associée à $x \longmapsto \ln(\sin(x))$ sur $]0,\pi[$, il vient en passant à la limite que $$\int_{0}^{\pi} \ln(\sin(t))dt=-\ln(2).$$

Effectivement my bad, j'ai oublié de normaliser par la longueur de l'intervalle.... Bien vu!!