Analyse fonctionnelle
Bonjour
J'aimerais une indication pour montrer que $$
\sup\Big\{\frac{||Au||_2}{||u||_1} \mid u\in \mathcal E_1 ^*\Big\}=\sup\{||Au||_2 \mid ||u||_1=1\},
$$ où les $(\mathcal E_i,||•||_i),i=1,2$. sont des espaces vectoriels normés et où $\mathcal E^*= \mathcal E \setminus \{0\}$.
J'aimerais une indication pour montrer que $$
\sup\Big\{\frac{||Au||_2}{||u||_1} \mid u\in \mathcal E_1 ^*\Big\}=\sup\{||Au||_2 \mid ||u||_1=1\},
$$ où les $(\mathcal E_i,||•||_i),i=1,2$. sont des espaces vectoriels normés et où $\mathcal E^*= \mathcal E \setminus \{0\}$.
Réponses
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Avec $A$ application linéaire continue de $\mathcal E_1$ vers $\mathcal E_2$.
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C'est quoi $e_1^*$ ?
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J'ai une idée je l'expose bientôt.
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Posons $\alpha$ le sup à gauche et $\beta$ celui à droite. On veut montrer que $\alpha=\beta$.
Pour cela je procède par double inégalité.
Montrons que $\alpha \le \beta$.
Soit $\epsilon >0$ par définition du sup, il existe $u \in \mathcal E_1^*$ tel que $\alpha - \epsilon <\frac{||Au||_2}{||u||}$. On a $||\frac{u}{||u||_1}||_1 =1$ donc $ ||A\frac{u}{||u||_1}||_2 \le \beta$ donc par linéarité de A et par homogénéité de la norme on a: $\alpha - \epsilon <\beta$. En faisant $\epsilon$ tendre vers $0^+$ on a $\alpha \le \beta$.
Montrons maintenant que $\beta \le \alpha$.
On a toujours par définition du sup, $\forall \epsilon >0$ il existe $u \in \mathcal E_1$ avec $||u||_1=1$ tel que $\beta-\epsilon <||Au||_2$. Et comme $u$ est non nul (car de norme 1), On a $\frac{||Au||_2}{||u||_1}\le \alpha$ d'où comme $||u||_1=1 $ alors $\beta-\epsilon<\alpha$ de nouveau en faisant $\epsilon$ tendre vers $0^+$ on a $\beta \le \alpha$ ce qui donne l'égalité voulue. -
Quelqu'un peut'il me dire si j'ai trouvé et si la réponse est affirmative m'aider à faire l'égalité mais en remplaçant $||u||=1$ par $||u|| \le 1$.
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Tu demandes qu'on lise ce que tu écris, mais tu ne lis pas ce qu'on t'écrit (même quand ça fait trois mots).
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Tu as comliqué pour rien
$Sup_{u\neq 0}\frac{||Au||_2}{||u||_1}=Sup_{u\neq 0} ||A(\frac{u}{||u||_1})||_2=Sup_{||u||_1=1}||Au||_2$Le 😄 Farceur -
Comme l'a expliqué gebrane0 (on pourrait rédiger un peu plus quand même), cela provient de l'homogénéité de la norme et le fait que $A$ est linéaire, donc on fait rentrer le dénominateur à l'intérieur.
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Il faut que poli note bien que j'ai démontré l’égalité entre les deux ensembles qui est plus fort que l’égalité des supLe 😄 Farceur
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Merci et comment faire donc si au lieu de $||u||_1=1$ on a plutôt $||u||_1\le1$.
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C'est évident, il suffit de se donner le temps pour y réfléchirLe 😄 Farceur
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Une ligne suffiraLe 😄 Farceur
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Une question
Est ce que la continuité de l’opérateur A joue un rôle pour traiter ton exercice ?, si oui le quel ?
( c'est une question simple et difficile à la fois)Le 😄 Farceur -
$A$ étant continue, on a $||Au||_2\le||u||_1$. Pourtout $u\in \mathcal E$.
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Faux
mais ma question était, si on suppose seulement que A est linéaire, peut avoir l’égalité entre
$\displaystyle Sup_{u\neq 0}\frac{||Au||_2}{||u||_1}$, $Sup_{||u||_1= 1 }{||Au||_2}$ et $Sup_{||u||_1\leq 1}{||Au||_2}$Le 😄 Farceur -
Bon je t'aide sur ta question
1-Est ce que tu vois la trivialité de $Sup_{||u||_1= 1 }{||Au||_2}\leq Sup_{||u||_1\leq 1 }{||Au||_2}$
2- Je note $||A||=Sup_{||u||_1= 1 }{||Au||_2}=Sup_{u\neq 0}\frac{||Au||_2}{||u||_1}$. Est ce que tu vois que $||Au||_2\leq ||A|| ||u||_1,\forall u\in E_1$
3- Peux-tu conclure que $Sup_{||u||_1\leq 1 }{||Au||_2}\leq Sup_{||u||_1= 1 }{||Au||_2}$Le 😄 Farceur -
Oui et comment le démontres-tu?Le 😄 Farceur
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Par continuité de $A$ en $0$ , on a pour $\epsilon =1 , \exists r >0$ tel que $||u||_1< r \rightarrow ||Au||_2\le 1$.
Soit $v\in \mathcal E_1^*$
Posons $u=\frac{rv}{||2v||_1}$.Alors $||u||_1=\frac{r}{2}<r$ d'où $||Au||_2 \le 1$. i.e. $||Av||_2 \le \frac{2||v||_1}{r}$(par linéarité et homogénéité de ||•||_2)Prendre donc $C=\frac{2}{r}$. Le cas $u=0$ prendre $C=0$. -
Ok
Donc le seul rôle joué par la continuité de A c'est d'avoir un opérateur borné pour s'assurer de la finitude de la borne sup ( ce qui permet d'avoir une norme sur $L(E_1,E_2)$)
Si on se permet d'avoir une borne sup égale à $+\infty$ ( on prend la borne sup dans $\bar \R$) alors la linéarité de A suffit pour démontrer l’égalité des 3 sup .Le 😄 Farceur -
Bonjour @gebrane0
En utilisant $||A||=\sup_{||u||_1\le1}||Au||_2$ la propriété ci $ ||Au||_2\le ||A|| ||u||_1,\ \forall u\in \mathcal E_1$. Permet facilement d'avoir le résultat.
Mais en utilisant le fait qu'il existe $C>0$ tel que $||Au||_2 \le C||u||_1$ je ne vois pas comment arriver au résultat.
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Bonjour!
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