Réels presque entiers

Bonjour c'est juste une curiosité.

Est-ce qu'il existe une suite d'entiers naturels $(u_n)_n$ tel que $\big(\exp(\sqrt{u_n})\big)_n$ "tend" vers un entier ? Je me souviens qu'un jour, un prof m'avait parlé d'irrationnels presque entiers en me donnant des exemples de ce genre.

EDIT: je veux dire approche un rationnel, c'est à dire que la différence avec un certain entier devient aussi petit qu'on le souhaite. C'est pas "tendre", donc.