Espace $L^p$ & convergence, contre-exemple
dans Analyse
Bonsoir à tous
J'aimerais trouver un contre-exemple au fait que :
$||f_n||_p$ converge vers $||f||_p$ n'implique pas de que $f_n$ converge vers $f$ dans $L^p$
($p \in [1,+\infty[$, $(f_n)$ une suite d'éléments de $L^p(\Omega)$, et $f \in L^p(\Omega)$)
Mais je n'y arrive pas ...
Quelqu'un en aurait-il un ?
Merci !
J'aimerais trouver un contre-exemple au fait que :
$||f_n||_p$ converge vers $||f||_p$ n'implique pas de que $f_n$ converge vers $f$ dans $L^p$
($p \in [1,+\infty[$, $(f_n)$ une suite d'éléments de $L^p(\Omega)$, et $f \in L^p(\Omega)$)
Mais je n'y arrive pas ...
Quelqu'un en aurait-il un ?
Merci !
Réponses
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$f_n=(-1)^n 1_{[0,1]}$, $f=1_{[0,1]}$.
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Autre exemple : $f_n = 1_{[n,n+1]}$ avec $f=\frac{1}{2p}e^{-|x|}$
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Merci !
Skyffer, confirmes-tu qu'on a donc :
$||f_n||_p = \int_0^1 dx = ||f||_p \longrightarrow ||f||_p$ (et ce donc même si $f_n =(-1)^n\mathbb{1}_{[0,1]}$ ne tend pas vers $f = \mathbb{1}_{[0,1]}$ ?)
et que $ ||f_n - f||_p = 2^{2n+1} \longrightarrow +\infty$ ?
Triss, j'ai du mal à saisir ton contre-exemple ; comment calcules-tu l'intégrale de $f = (1/2p)exp{-|x|}$ ? Tu utilises une densité connue? -
Non je ne confirme pas tes calculs, je t'invite à les refaire.
Mais je confirme que la norme de $f_n$ tend vers celle de $f$ (en fait la norme de la suite est même constante), et que pourtant $f_n$ ne converge pas vers $f$. -
Mais enfin ???? Prends $f,g$ différentes mais avec la même norme $L^p$ et $f_n = g$.
-
Ce que dit Lupulus c'est que j'aurais pu poser $f_n=-1_{[0,1]}$, ça marche pareil. Mais bon il était 3h du matin quand j'ai posté :-D
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:-D
Ce qui m'a choqué c'est les réactions "normales" des intervenants face à cette question. En y réfléchissant UNE seconde on voit déjà que l'égalité en norme n'implique pas l'égalité normale, mais là on a un énoncé encore plus fort :-S Est ce raisonnable de vouloir étudier les espaces $L^p(\Omega)$ si de telles questions ne sont pas claires ? -
gebrane : $f = 1_{[0,1]}$ et $f_n = -f$.
-
Refais ton calcul alors ;-)
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$||f_n-f||_p=2$:-DLe 😄 Farceur
-
Lupulus écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1527870,1528030#msg-1528030
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Qu'entends-tu par l'égalité en norme et égalité normale ?
(NB : Skyffer3, effectivement je me suis trompé ; ce n'est pas $2^{2n+1}$ mais bien $|(-1)^n-1|$ qui ne tend pas vers 0 !) -
Égalité en norme : $||f||_p = ||g||_p$.
Égalité normale : $f=g$. -
Poirot, je pense que dans ce contexte l'égalité normale veut dire égalité dans l'espace $L^p$, donc égalité presque partout.
-
D'accord, mais en quoi l'énoncé est encore plus fort ? Quel énoncé ?
-
Ton énoncé initial était du type "si $|f_n| \to |f|$ alors ..." mais déjà un énoncé de la forme $si |g| = |f|$ alors ..." était faux !
C'est un énoncé plus fort car prendre $|g| = |f|$ est un cas particulier du premier énoncé avec les suites en prenant $f_n = g$. -
Ton énoncé, s'il était vrai, impliquerait que l'égalité en norme engendre l'égalité dans $L^p$, il est donc plus fort.
Edit : grillé :-) -
Mea culpa, c'est juste que je pense préférable de bien préciser pour s'assurer de la compréhension de l'auteur de la question.
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