Espace $L^p$ & convergence, contre-exemple

tortue_geniale
tortue_geniale
dans Analyse
Bonsoir à tous
J'aimerais trouver un contre-exemple au fait que :

$||f_n||_p$ converge vers $||f||_p$ n'implique pas de que $f_n$ converge vers $f$ dans $L^p$
($p \in [1,+\infty[$, $(f_n)$ une suite d'éléments de $L^p(\Omega)$, et $f \in L^p(\Omega)$)
Mais je n'y arrive pas ...

Quelqu'un en aurait-il un ?
Merci !

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    $f_n=(-1)^n 1_{[0,1]}$, $f=1_{[0,1]}$.
  • Tryss
    Tryss
    Autre exemple : $f_n = 1_{[n,n+1]}$ avec $f=\frac{1}{2p}e^{-|x|}$
  • tortue_geniale
    tortue_geniale
    Merci !

    Skyffer, confirmes-tu qu'on a donc :
    $||f_n||_p = \int_0^1 dx = ||f||_p \longrightarrow ||f||_p$ (et ce donc même si $f_n =(-1)^n\mathbb{1}_{[0,1]}$ ne tend pas vers $f = \mathbb{1}_{[0,1]}$ ?)
    et que $ ||f_n - f||_p = 2^{2n+1} \longrightarrow +\infty$ ?

    Triss, j'ai du mal à saisir ton contre-exemple ; comment calcules-tu l'intégrale de $f = (1/2p)exp{-|x|}$ ? Tu utilises une densité connue?
  • Chalk
    Chalk
    Non je ne confirme pas tes calculs, je t'invite à les refaire.

    Mais je confirme que la norme de $f_n$ tend vers celle de $f$ (en fait la norme de la suite est même constante), et que pourtant $f_n$ ne converge pas vers $f$.
  • Lupulus
    Lupulus
    Mais enfin ???? Prends $f,g$ différentes mais avec la même norme $L^p$ et $f_n = g$.
  • Chalk
    Chalk
    Ce que dit Lupulus c'est que j'aurais pu poser $f_n=-1_{[0,1]}$, ça marche pareil. Mais bon il était 3h du matin quand j'ai posté :-D
  • Lupulus
    Lupulus
    :-D

    Ce qui m'a choqué c'est les réactions "normales" des intervenants face à cette question. En y réfléchissant UNE seconde on voit déjà que l'égalité en norme n'implique pas l'égalité normale, mais là on a un énoncé encore plus fort :-S Est ce raisonnable de vouloir étudier les espaces $L^p(\Omega)$ si de telles questions ne sont pas claires ?
  • gebrane
    gebrane
    @Skyffer
    Pourquoi ca marche avec $f_n=-1_{[0,1]}$, je vois que $||f_n-f||_p$ tend bien vers 0, non?
    Le 😄 Farceur


  • Lupulus
    Lupulus
    gebrane : $f = 1_{[0,1]}$ et $f_n = -f$.
  • Chalk
    Chalk
    Refais ton calcul alors ;-)
  • gebrane
    gebrane
    $||f_n-f||_p=2$:-D
    Le 😄 Farceur


  • tortue_geniale
    tortue_geniale
    Lupulus écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1527870,1528030#msg-1528030
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Qu'entends-tu par l'égalité en norme et égalité normale ?

    (NB : Skyffer3, effectivement je me suis trompé ; ce n'est pas $2^{2n+1}$ mais bien $|(-1)^n-1|$ qui ne tend pas vers 0 !)
  • Poirot
    Poirot
    Égalité en norme : $||f||_p = ||g||_p$.

    Égalité normale : $f=g$.
  • Chalk
    Chalk
    Poirot, je pense que dans ce contexte l'égalité normale veut dire égalité dans l'espace $L^p$, donc égalité presque partout.
  • tortue_geniale
    tortue_geniale
    D'accord, mais en quoi l'énoncé est encore plus fort ? Quel énoncé ?
  • Lupulus
    Lupulus
    Ton énoncé initial était du type "si $|f_n| \to |f|$ alors ..." mais déjà un énoncé de la forme $si |g| = |f|$ alors ..." était faux !
    C'est un énoncé plus fort car prendre $|g| = |f|$ est un cas particulier du premier énoncé avec les suites en prenant $f_n = g$.
  • Chalk
    Chalk
    Ton énoncé, s'il était vrai, impliquerait que l'égalité en norme engendre l'égalité dans $L^p$, il est donc plus fort.

    Edit : grillé :-)
  • Poirot
    Poirot
    @skyffer3 : c'est exactement ce que je voulais dire, si $f,g \in L^p$, l'égalité $f=g$ a pour signification l'égalité presque partout des fonctions sous-jacentes.
  • Chalk
    Chalk
    Mea culpa, c'est juste que je pense préférable de bien préciser pour s'assurer de la compréhension de l'auteur de la question.
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