"Racine carrée" de l'opérateur de dérivation

Bonjour,

Je réfléchi actuellement à l'existence (ou non) d'un opérateur, appelons le F, d'un espace de fonctions réelles dans lui même, tel que FoF appliquée à une fonction donne sa dérivée.

En gros FoF(f) = df/dx

En me restreignant dans un premier temps aux fonctions polynomiales de R dans R (en fait il s'agit plutôt de l'algèbre engendrée par la fonction $x \longrightarrow \sqrt{x}$), j'ai trouvé les formules suivantes :

J'identifie le polynôme et la fonction polynomiale sous-jacente et part du principe que l'opérateur est linéaire. L'image d'un monôme par l'opérateur est un "monôme" de degré non entier (de la forme $k+\frac{1}{2}$)

Ainsi $F(x\longrightarrow x^k)=\phi(k).x^{k-\frac{1}{2}}$ où $\phi(k)=\frac{(2k)!}{\prod_{i=1}^{k}(2i-1)^2}$ et $\phi(k-\frac{1}{2})=k.\frac{\prod_{i=1}^{k}(2i-1)^2}{(2k)!}$

Il semble donc que cette opérateur réponde à la question posée, à savoir que lorsqu'on l'applique deux fois à un polynôme il donne le polynôme dérivé.

Est-il unique ou y a-t-il d'autre constructions possibles ? Peut-on étendre ce principe aux séries entières ? Par densité, jusqu'à quel type d'espace de fonctions peut-on aller ? $C^{\infty}$ ? $C^1$ ?

Si quelqu'un a déjà entendu parlé d'un problème similaire