Fonction logarithme népérien

mona123
mona123
dans Analyse
Bonjour,
J'ai une question qui m’embête:


En $2015$, le nombre d’habitants d’une commune était de $30000$ habitants. On suppose que la population décroît de 3% par an.

Si la tendance ne change pas, On voudrait savoir en quelle année le nombre d’habitants passera sous le seuil des $25000$, en utilisant la fonction logarithme népérien $ln$

Merci de m'aider à répondre

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Quelle est la population en $2016$ ? Quelle sera-t-elle en $2017$ ? Maintenant peux-tu donner celle-ci à l'année $2015 + n$ avec $n \in \mathbb N$ ? Une fois que tu sauras faire ça, tu pourras répondre à ta question ;-)
  • gebrane
    gebrane
    Connais-tu les suites géométriques?
    Le 😄 Farceur


  • mona123
    mona123
    en 2016 elle sera $30000-900$
    en 2017 elle sera $30000-900*2$
    2015+n elle $30000-900*n$

    mais ce que je ne comprend pas comment faut il utiliser la fonction $ln$ pour trouver la réponse au problème?
  • Amathoué
    Amathoué
    Bonsoir,

    Une décroissance de $3$% par an signifie que si la population est de $u_n$ habitants l'année $n$ , elle sera de $0,97u_n$ l'année $n+1$.
    Pourrais-tu donc exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, puis $u_n$ en fonction de $n$?
  • Poirot
    Poirot
    Ok pour $2016$, non pour $2017$. Que vaut $30\%$ de $30000-900=29100$ ?
  • mona123
    mona123
    29100*30/100=8730
  • Poirot
    Poirot
    En fait j'ai mal lu, mais dès $2016$ ce n'est pas bon, il ne faut pas retirer $900$ mais $9000$. Bref, ton dernier calcul devrait te faire comprendre pourquoi il ne suffit de pas de retirer $9000$ chaque année, c'est plus compliqué que ça. Comme expliqué par Amathoué, tu peux essayer e traduire l'énoncé par une multiplication particulière.
  • mona123
    mona123
    @Amathoué
    $u_{n+1}=0.97u_n$?
  • Félix
    Félix
    Bonsoir,

    Si on décroit de 3 % à partir de 30 000, il s'agit bien d'une baisse de 30 000 * 0,03 = 900 la première année.
    Et de 29 100 * 0,03 = 873 la seconde.
    Plutôt que de soustraire la baisse de 3 %, il est plus judicieux de considérer qu'on multiplie par 0,97
    Puis, pour la population à l'issue de la 2ème année, par 0,97*0,97
    Et ainsi de suite.
    L'exercice consiste donc à calculer combien de puissances de 0,97 il faut, en partant de 1, pour passer en dessous de 25 000 / 30 000 = 5 / 6, soit 0,8333....
    Le lien avec les logarithmes devient alors limpide.
  • Amathoué
    Amathoué
    oui @Mona. Ensuite , lire les conseils de @Félix.
  • Poirot
    Poirot
    J'avais lu $30%$ pardon, tu peux oublier mes messages.
  • mona123
    mona123
    Je ne vois pas encore comment utiliser le ln:-(
  • Félix
    Félix
    La fonction log est la fonction inverse, ou réciproque, de la fonction puissance. :

    [edit : mal formulé. Telle quelle, cette phrase est fausse, la fonction logarithme népérien est bien sûr la fonction réciproque de la fonction exponentielle, et non puissance.
    L'idée que je voulais exprimer est que lorsqu'on a une multiplication, a fortiori comme ici une suite de multiplications qui est en fait l'élévation à une puissance, prendre le log de l'expression revient à transformer une multiplication en addition, et une puissance en multiplication]
  • gebrane
    gebrane
    C'est un exo sur les suites géométriques, tu as $u_{n+1}=0,97 u_n$ donc $u_n=(0,97)^{n-n_0}u_{n_0}$ tu peux prendre $n_0=2015$ Le probleme revient à $u_n=(0,97)^{n-n_0}u_{n_0}\leq 25000$ et tu passes au log
    Le 😄 Farceur


  • mona123
    mona123
    et avec la calculatrice sans le ln comment faire?
  • Amathoué
    Amathoué
    Tu tapes $0,97 \times 30 000$ puis successivement sur $\times 0,97$.Tu comptes ensuite le nombre de fois où tu tapes le symbole $\times$.Dès que l'écran affiche une valeur plus petite que $25 000$, tu fais le compte du nombre de fois où tu as tapé $\times$. Ce nombre te donne la valeur de $n$ cherchée.
    Tu viens d’exécuter un algorithme.
  • gebrane
    gebrane
    Apres mona va nous dire et sans calculatrice comment on va faire !
    Le 😄 Farceur


  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,
    Félix a écrit:
    La fonction log est la fonction inverse, ou réciproque, de la fonction puissance.

    Et la racine nième, c'est quoi ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • Amathoué
    Amathoué
    Il voulait évidemment dire "fonction exponentielle".
    Plus précisément , pour tout réel $a>0$, $\mathbb{R}_+^* \rightarrow \mathbb{R}$ , $x \mapsto \log_a x$ est la fonction réciproque de $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_+^*$, $x \mapsto \exp_a x$.
  • Félix
    Félix
    Oui, merci Amathoué. J'avais entretemps corrigé. Amicalement.
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