Continuité

Boom a écrit:

Soit f une fonction de ]0,1[ vers [0,1],qui prend toutes le valeurs entre 0 et 1

C'est redondant, si la fonction est à valeurs dans [0,1] alors elle prend toutes ses valeurs entre 0 et 1.

Sinon la réponse à ta question est non, on peut trouver des fonctions discontinues en tous les points même.

Bien sûr, $x\mapsto 1_\mathbb Q(x)$ répond à ta question.

Bonjour,

Que penses-tu de la fonction indicatrice de $\mathbb{Q}$ restreinte à l'intervalle $]0, \, 1[$ ?

Du coup, si je définis la fonction $f$ sur $[0, \, 1]$ par $f(x)= \begin{cases} x \text{ si } x \in \mathbb{Q} \\ 1-x \text{ si } x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$, on a presque un contre exemple à ton problème, il faut enlever les bords 0 et 1 tout en les gardant dans l'image.

Pour y remédier, on fait un petit changement de variable : la fonction définie sur $]0, \, 1[$ par \[g(x) = \begin{cases} f(2(x-\frac{1}{4})) \text{ si } x \in ]1/4, \, 3/4[ \\ 1_{\mathbb{Q}}(x) \text{ sinon } \end{cases} \]
devrait faire l'affaire sauf erreur de ma part.

Bah si l'indicatrice prend toutes ses valeurs entre $0$ et $1$, mais pas strictement. Du coup tu as changé ton énoncé ? Parce qu'au début tu as clairement dit "à valeurs dans [0,1]".

Mais ça change rien, dans ton nouveau cas je prends $x\mapsto \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}.1_\mathbb Q(x)$.

Edit : j'avais pas compris, la fonction doit prendre toutes les valeurs de l'intervalle [0,1]. Du coup la réponse à ta question reste non mais le contre-exemple est plus dur à trouver.

Pour répondre à ta question je pense que $f\colon x\mapsto x$ pour $x$ rationnel et $x\mapsto 1-x$ pour $x$ irrationnel répond à la question, elle n'est continue qu'en un seul point : $\dfrac{1}{2}$, et on peut facilement la modifier pour la rendre discontinue partout si besoin. Elle prend bien toutes les valeurs de l'intervalle $[0,1]$. On a $f([0,1])=[0,1]$ et $f(]0,1[)=]0,1[$. Elle n'est continue par morceaux sur aucun intervalle évidemment.

@Boom un résultat qui devrait t’intéresser Théorème de Froda .Si tu peux lire en anglais regarde aussi ici