Lemme d'Urysohn

bibitemmallogé · September 2017

Bonjour,
Dans le lemme d'Urysohn, in suppose que $K$ est compact et $F$ est fermé, $F$ et $K$ sont d'intersection vide. Alors, il existe $f \in D(\R^n)$ t.q $0\leq f \leq 1$, et $f=0$ au voisinage de $F$, et $f=1$ au voisinage de $K$.
Ma question est: qu'est ce qui empêche que $f=1$ au voisinage de $F$ et $f=0$ au voisinage de $K$? S'il vous plaît.

Poirot · September 2017

Que penses-tu de $1-f$ ?

bibitemmallogé · September 2017

$1-f=0$ au voisinage du fermé $F$, et vaut $1$ au voisinage du compact $K$, et $1-f$ est à support compact. Vous voulez dire que dans le Lemme d'Urysohn, on peut dire que $f=1$ au voisinage du fermé $F$ et $f=0$ au voisinage du compact $K$? Il y a équivalence?

Poirot · September 2017

Bah oui. L'intérêt du lemme c'est qu'on peut construire une fonction lisse qui prend deux valeurs distinctes prescrites sur ton compact et ton fermé.

Après je viens de voir que tu voulais de plus que ta fonction soit à support compact. Là bien sûr on ne peut pas avoir $f=1$ sur $F$ si $F$ n'est pas borné. Mais toute la substance du lemme c'est le premier paragraphe que j'ai écrit.

Lemme d'Urysohn

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