Calcul

Lolipop
Lolipop
dans Analyse
Bonjour, un peu d'aide ne serait pas de refus. Merci d'avance.

Soit $A_n = \displaystyle\int_0^1 (1-k)e^{-k}\ln(1+k^n)dk$.
Comment montrer que $(A_n)$ converge vers $0$ en disant que $\ln(1+x)\leqslant x$ ?

Réponses

  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Bonsoir,
    Quelles sont les bornes d'intégration ?
  • Lolipop
    Lolipop
    Bonsoir, C'est une intégration de 0 à 1
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Je suppose que tu as remarqué que $A_n$ est positif pour tout nombre entier naturel $n$.
    Quelle majoration de $A_n$ as-tu obtenue à partir de l'inégalité $\ln(1+x)\leqslant x$ ?
    D'ailleurs, pour quelles valeurs de $x$ cette dernière inégalité est-elle vraie ?
  • gebrane
    gebrane
    $|A_n|\leq ...
    Le 😄 Farceur


  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    À force de chercher, Lolipop aurait pu trouver cette inégalité toute seule.
    Tant pis !
  • gebrane
    gebrane
    Quelle inegalité ? ;-)
    Le 😄 Farceur


  • Lolipop
    Lolipop
    Cette inégalité est vraie pour tout x>=0
  • Lolipop
    Lolipop
    On peut poser x=k^n ?
  • Chalk
    Chalk
    Si c'est vrai pour tout $x \geq 0$ (en fait c'est vrai pour tout $x>-1$ mais passons) pourquoi ce ne serait pas vrai pour $x=k^n$ ?
  • Lolipop
    Lolipop
    Je ne sais pas si ça peut me permettre d'avancer dans mon exercice. En fait, j'aurai aimé poser x=k^n pour pouvoir encadrer mon intégrale par la suite en commençant par ln(1+k^n)<=k^n
  • Chalk
    Chalk
    Je répète ma question, si c'est vrai pour tout $x\geq 0$, pourquoi ce ne serait pas vrai pour $x=k^n$ ?

    Je rappelle que $k\in [0,1]$.
  • Lolipop
    Lolipop
    Je ne sais pas ...
  • Chalk
    Chalk
    Tu comprends le conditionnel ? Je n'ai jamais dit que ce n'était pas vrai et tu as visiblement un problème avec le quantificateur universel.

    Si tous les hommes sont mortels. Alors es-tu mortel ?
    Si pour tout nombre positif $x$ on a $\log(1+x)\leq x$, alors a-t-on $\log(1+k^n)\leq k^n$ ?
  • Lolipop
    Lolipop
    Oui ...
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