Convergence série et norme

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Parce que sinon ça veut dire quoi la somme d'éléments de $E$ ? Comment tu la définis si $E$ n'a aucune structure ? Bon là où je chipote c'est que comme $E$ a une norme c'est implicitement que c'est un espace vectoriel. Mais j'ai bien fait de faire la remarque car visiblement tu es surpris ...

@remarK : j'ai repris son expression, mais j'avoue que ce n'était pas bien inspiré

Oui j'ai complètement déliré hier sur la nomenclature. La convergence absolue implique la convergence dans un Banach. J'ai dit que la convergence normale impliquait la convergence simple, ce n'est pas faux mais c'est dans le contexte des séries de fonctions ...

C'est pire qu'un problème de stabilité. Si $E$ n'est pas un espace vectoriel alors l'addition n'est même pas définie !

Je confirme.

La convergence normale c'est la convergence de la série des normes infinies de la suite de fonctions. Oublie ce que j'ai dit à ce sujet, c'est lié mais ça embrouille inutilement ton cadre parce que là il s'agit d'espace fonctionnel pour la norme infinie (celle de la convergence uniforme). Mais si cet espace est complet (c'est le cas dès que l'espace d'arrivée de tes fonctions l'est, par exemple si c'est $\R$), alors la convergence normale implique la convergence uniforme, qui elle-même implique la convergence simple. C'est le même raisonnement avec le critère de Cauchy.

J'ai édité mon précédent message pour que ce soit plus clair.

Je suis sur un ordi parce que trop compliqué sur un téléphone, du coup ça m’obligeait à trop de raccourcis.

Je reprends. On prend un espace vectoriel normé complet $(E,\Vert.\Vert)$. Alors pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $E$, on a que $\sum_n \Vert x_n \Vert$ converge implique que $\sum_n x_n$ converge (dans $E$ évidemment, cf ton autre post, c'est-à-dire $x=\sum_n x_n \in E$ et $\Vert \sum_{k\leq n} x_k -x\Vert \to 0$), c'est une simple application du critère de Cauchy. Démontre ce premier point.

On dit que la convergence absolue implique la convergence, dans un espace complet (ce n'est pas toujours vrai sinon) ! Si on prend $E=\mathbb R$ c'est exactement comme cela qu'on démontre qu'une série de réels qui converge absolument converge, c'est la complétude qui fait marcher le truc, et c'est pour cela qu'on peut généraliser à d'autres espaces.

Maintenant je prends une suite de fonctions $f_n$ bornées de $X$ ensemble quelconque à valeurs dans $E$
(généralement $E=\mathbb R$ et dans ce cas la norme de $E$ c'est la valeur absolue). Cela signifie que $f_n \in (\mathcal B(X,E), \Vert.\Vert_\infty)$.

$\mathcal B(X,E)$ dénote l'espace vectoriel des fonctions bornées de $X$ dans $E$. Pour rappel, $\Vert f \Vert_\infty = \sup_{x\in X} \Vert f(x) \Vert$, à gauche c'est la norme infinie, c'est-à-dire la norme de l'espace fonctionnel, à droite c'est la norme de l'espace d'arrivée, ici $E$. $f$ bornée veut dire que $\Vert f\Vert_\infty < +\infty$.

Un théorème (exercice bonus, pas très dur mais techniquement très intéressant à démontrer) nous dit que l'espace fonctionnel $(\mathcal B(X,E), \Vert.\Vert_\infty)$ est complet si $E$ est complet. Dans ce cas, la convergence normale implique la convergence uniforme (vers une fonction bornée), par un raisonnement (très très) similaire avec le critère de Cauchy (voir remarque à la fin). Démontre ce second point.

Par ailleurs, la convergence uniforme implique toujours la convergence simple (que les espaces soient complets ou non).

Pour rappel, la convergence normale c'est $\sum_n \Vert f_n \Vert_\infty < +\infty$, avec comme expliqué précédemment $\Vert f_n \Vert_\infty = \sup_{x\in X} \Vert f_n(x) \Vert$.
La convergence uniforme c'est $\Vert u-u_n\Vert_\infty \to 0$, si je note $u=\sum_n f_n \in (\mathcal B(X,E), \Vert.\Vert_\infty)$, et $u_n = \sum_{k\leq n} f_k$.
La convergence simple c'est pour tout $x\in X$, $u_n(x)$ converge vers $u(x)$ (dans $E$ évidemment, ce sont des éléments de $E$ ça n'aurait pas de sens ailleurs de toute façon, cf ton autre post).

Tu remarqueras que la convergence absolue (pour les éléments de $E$), et la convergence normale (pour les fonctions), n'ont de sens que pour des séries à chaque fois, contrairement à la convergence dans $E$ et à la convergence simple et uniforme pour les fonctions qui s'appliquent plus généralement aux suites (d'éléments de $E$ ou de fonctions).

La convergence uniforme c'est donc simplement la convergence dans l'espace vectoriel normé (complet si $E$ est complet) $(\mathcal B(X,E), \Vert.\Vert_\infty)$. Maintenant que tu as compris ça, et une fois que tu as démontré les deux points bleus en question, ouvre les yeux et regarde comment le deuxième point est une application directe du premier en choisissant le bon espace (si jamais tu ne l'avais pas déjà remarqué et que tu as refait la démonstration avec le critère de Cauchy).

J'espère ne pas avoir fait d'erreur dans la précipitation, lis bien ce message et repose nous tes questions ensuite ;-)
Edit : J'ai édité plein de fois pour virer les coquilles et améliorer la mise en forme au fur et à mesure :-D

Une bonne fois pour toute, tu ne peux pas parler de $\sum_{k=0}^{+\infty} f_k$ avant d'avoir démontré que cette somme a un sens, c'est-à-dire que la série partielle de la suite converge (par définition sa limite est alors notée $\sum_{k=0}^{+\infty} f_k$) ! Comment veux-tu démontrer que cette série converge si tu commences par supposer qu'elle converge ?? (C'est ce que tu fais en écrivant $\sum_{k=0}^{+\infty} f_k$)

Je te suggère de relire attentivement chaque phrase de mon message. Je pense tout y expliquer.

Par ailleurs tu parles de norme équivalente mais tu confonds complètement, la norme infinie et la norme sur $E$ ne sont pas définies sur le même espace ! On a toujours $\Vert f(x)\Vert \leq \Vert f \Vert_\infty$, pour tout $x$, par définition du sup, regarde la définition de la norme infinie.

Tu dois passer plus de temps sur ce que j'ai écrit car là tu mélanges vraiment beaucoup de choses.

tortue_geniale a écrit:

$$||g - g_n||_{E} \le ||g||_E - ||g_n||_{E}$$

Tu as une vision originale de l'inégalité triangulaire !